Enters i mitjos enters
modifica
Per a arguments enters positius, la funció gamma coincideix amb el factorial . Això és,
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
,
{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!,}
i per tant
Γ
(
1
)
=
1
,
Γ
(
2
)
=
1
,
Γ
(
3
)
=
2
,
Γ
(
4
)
=
6
,
Γ
(
5
)
=
24
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=1,\\\Gamma (2)&=1,\\\Gamma (3)&=2,\\\Gamma (4)&=6,\\\Gamma (5)&=24,\end{aligned}}}
etcètera.
Per a nombres enters no positius , la funció gamma no està definida.
Per als mig enters positius, els valors de la funció es donen exactament per
Γ
(
n
2
)
=
π
(
n
−
2
)
!
!
2
n
−
1
2
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {n}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(n-2)!!}{2^{\frac {n-1}{2}}}}\,}
o equivalent, per a valors enters no negatius de n
Γ
(
1
2
+
n
)
=
(
2
n
−
1
)
!
!
2
n
π
=
(
2
n
)
!
4
n
n
!
π
Γ
(
1
2
−
n
)
=
(
−
2
)
n
(
2
n
−
1
)
!
!
π
=
(
−
4
)
n
n
!
(
2
n
)
!
π
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\end{aligned}}}
on n !!doble factorial . En particular,
Γ
(
1
2
)
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\,}
=
π
{\displaystyle ={\sqrt {\pi }}\,}
≈
1.772
453
850
905
516
0273
{\displaystyle \approx 1.772\,453\,850\,905\,516\,0273\,}
(successió A002161 a l'OEIS )
Γ
(
3
2
)
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)\,}
=
1
2
π
{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\,}
≈
0.886
226
925
452
758
0137
{\displaystyle \approx 0.886\,226\,925\,452\,758\,0137\,}
(successió A019704 a l'OEIS )
Γ
(
5
2
)
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)\,}
=
3
4
π
{\displaystyle ={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}\,}
≈
1.329
340
388
179
137
0205
{\displaystyle \approx 1.329\,340\,388\,179\,137\,0205\,}
(successió A245884 a l'OEIS )
Γ
(
7
2
)
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)\,}
=
15
8
π
{\displaystyle ={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}\,}
≈
3.323
350
970
447
842
5512
{\displaystyle \approx 3.323\,350\,970\,447\,842\,5512\,}
(successió A245885 a l'OEIS )
i mitjançant la fórmula de reflexió ,
Γ
(
−
1
2
)
{\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\,}
=
−
2
π
{\displaystyle =-2{\sqrt {\pi }}\,}
≈
−
3.544
907
701
811
032
0546
{\displaystyle \approx -3.544\,907\,701\,811\,032\,0546\,}
(successió A019707 a l'OEIS )
Γ
(
−
3
2
)
{\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)\,}
=
4
3
π
{\displaystyle ={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}\,}
≈
2.363
271
801
207
354
7031
{\displaystyle \approx 2.363\,271\,801\,207\,354\,7031\,}
(successió A245886 a l'OEIS )
Γ
(
−
5
2
)
{\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {5}{2}}\right)\,}
=
−
8
15
π
{\displaystyle =-{\tfrac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}\,}
≈
−
0.945
308
720
482
941
8812
{\displaystyle \approx -0.945\,308\,720\,482\,941\,8812\,}
(successió A245887 a l'OEIS )
Argument racional general
modifica
En analogia amb la fórmula de mig enter,
Γ
(
n
+
1
3
)
=
Γ
(
1
3
)
(
3
n
−
2
)
!
!
!
3
n
Γ
(
n
+
1
4
)
=
Γ
(
1
4
)
(
4
n
−
3
)
!
!
!
!
4
n
Γ
(
n
+
1
p
)
=
Γ
(
1
p
)
(
p
n
−
(
p
−
1
)
)
!
(
p
)
p
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{3}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right){\frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{4}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!}{4^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{p}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{p}}\right){\frac {{\big (}pn-(p-1){\big )}!^{(p)}}{p^{n}}}\end{aligned}}}
on n !(p ) p multifactorial de n
Γ
(
1
3
)
≈
2.678
938
534
707
747
6337
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337}
A073005 a l'OEIS )
Γ
(
1
4
)
≈
3.625
609
908
221
908
3119
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\approx 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119}
A068466 a l'OEIS )
Γ
(
1
5
)
≈
4.590
843
711
998
803
0532
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\approx 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532}
A175380 a l'OEIS )
Γ
(
1
6
)
≈
5.566
316
001
780
235
2043
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)\approx 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043}
A175379 a l'OEIS )
Γ
(
1
7
)
≈
6.548
062
940
247
824
4377
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{7}}\right)\approx 6.548\,062\,940\,247\,824\,4377}
A220086 a l'OEIS )
Γ
(
1
8
)
≈
7.533
941
598
797
611
9047
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\approx 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047}
A203142 a l'OEIS ).Es desconeix si aquestes constants són transcendents en general, però Γ(1 / 3 i Γ(1 / 4 van ser transcendents per G. V. Chudnovsky .Des de fa temps, se sap que Γ(1 / 4 / 4 √π és transcendent, i Yuri Nesterenko va demostrar el 1996 que Γ(1 / 4 , π , i e π algebraicament independents .
El nombre Γ(1 / 4 està relacionat amb la constant de la lemniscata S
Γ
(
1
4
)
=
2
π
S
,
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {{\sqrt {2\pi }}S}},}
i ha estat conjecturada per Gramain com
Γ
(
1
4
)
=
4
π
3
e
2
γ
−
δ
+
1
4
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt[{4}]{4\pi ^{3}e^{2\gamma -\mathrm {\delta } +1}}}}
on δ constant de Masser-Gramain (successió A086058 a l'OEIS ), encara que el treball numèric de Melquiond et al. indica que aquesta conjectura és falsa.[1]
Borwein i Zucker van descobrir que Γ(n / 24 es pot expressar algebraicament en termes de π K (k (1))K (k (2))K (k (3))K (k (6))K (k (N ))integral integral el·líptica de primera espècie . Això permet aproximar de forma eficient la funció gamma d'arguments racionals amb una alta precisió utilitzant iteracions de convergència quadràtica de la mitjana aritmètico-geomètrica . No es coneixen cap relació similar en Γ(1 / 5 o en altres denominadors.
En particular, on AGM() és la mitjana aritmètica-geomètrica , tenim[2]
Γ
(
1
3
)
=
2
7
9
⋅
π
2
3
3
1
12
⋅
A
G
M
(
2
,
2
+
3
)
1
3
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)={\frac {2^{\frac {7}{9}}\cdot \pi ^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {1}{12}}\cdot AGM\left(2,{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}}
Γ
(
1
4
)
=
(
2
π
)
3
2
A
G
M
(
2
,
1
)
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{AGM\left({\sqrt {2}},1\right)}}}}
Γ
(
1
6
)
=
2
14
9
⋅
3
1
3
⋅
π
5
6
A
G
M
(
1
+
3
,
8
)
2
3
.
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)={\frac {2^{\frac {14}{9}}\cdot 3^{\frac {1}{3}}\cdot \pi ^{\frac {5}{6}}}{AGM\left(1+{\sqrt {3}},{\sqrt {8}}\right)^{\frac {2}{3}}}}.}
Altres fórmules inclouen els productes infinits
Γ
(
1
4
)
=
(
2
π
)
3
4
∏
k
=
1
∞
tanh
(
π
k
2
)
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}
i
Γ
(
1
4
)
=
A
3
e
−
G
π
π
2
1
6
∏
k
=
1
∞
(
1
−
1
2
k
)
k
(
−
1
)
k
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1)^{k}}}
on A constant de Glaisher-Kinkelin i G constant del Catalan .
C. H. Brown va derivar ràpidament convergent la sèrie infinita convergent per a valors particulars de la funció gamma:[3]
(
Γ
(
1
3
)
)
6
12
π
4
=
1
10
∑
k
=
0
∞
(
6
k
)
!
(
−
1
)
k
(
k
!
)
3
(
3
k
)
!
3
k
160
3
k
(
Γ
(
1
4
)
)
4
128
π
3
=
1
u
∑
k
=
0
∞
(
6
k
)
!
(
2
w
)
k
(
k
!
)
3
(
3
k
)
!
6486
3
k
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\left(\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\right)^{6}}{12\pi ^{4}}}&={\frac {1}{\sqrt {10}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(-1)^{k}}{(k!)^{3}(3k)!3^{k}160^{3k}}}\\{\frac {\left(\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right)^{4}}{128\pi ^{3}}}&={\frac {1}{\sqrt {u}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(2w)^{k}}{(k!)^{3}(3k)!6486^{3k}}}\end{aligned}}}
on,
u
=
273
+
180
2
v
=
1
+
2
w
=
−
761
354
780
+
538
359
129
2
=
6486
3
2
(
u
v
2
2
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}u&=273+180{\sqrt {2}}\\v&=1+{\sqrt {2}}\\w&=-761\,354\,780+538\,359\,129{\sqrt {2}}={\frac {6486^{3}}{2\left(uv^{2}{\sqrt {2}}\right)^{3}}}\end{aligned}}}
de manera equivalent,
(
Γ
(
1
4
)
)
4
128
π
3
=
1
u
∑
k
=
0
∞
(
6
k
)
!
(
k
!
)
3
(
3
k
)
!
1
(
u
v
2
2
)
3
k
.
{\displaystyle {\frac {\left(\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right)^{4}}{128\pi ^{3}}}={\frac {1}{\sqrt {u}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!}{(k!)^{3}(3k)!}}{\frac {1}{(uv^{2}{\sqrt {2}})^{3k}}}.}
Les següents dues representacions per a Γ(3 / 4 van ser lliurades per I. Mező[4]
π
e
π
2
1
Γ
2
(
3
4
)
=
i
∑
k
=
−
∞
∞
e
π
(
k
−
2
k
2
)
ϑ
1
(
i
π
2
(
2
k
−
1
)
,
e
−
π
)
,
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2k^{2})}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),}
i
π
2
1
Γ
2
(
3
4
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
ϑ
4
(
i
k
π
,
e
−
π
)
e
2
π
k
2
,
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^{2}}}},}
on ϑ 1 ϑ ₄funcions theta de Jacobi .
Algunes identitats de productes inclouen:
∏
r
=
1
2
Γ
(
r
3
)
=
2
π
3
≈
3.627
598
728
468
435
7012
{\displaystyle \prod _{r=1}^{2}\Gamma \left({\tfrac {r}{3}}\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\approx 3.627\,598\,728\,468\,435\,7012}
A186706 a l'OEIS )
∏
r
=
1
3
Γ
(
r
4
)
=
2
π
3
≈
7.874
804
972
861
209
8721
{\displaystyle \prod _{r=1}^{3}\Gamma \left({\tfrac {r}{4}}\right)={\sqrt {2\pi ^{3}}}\approx 7.874\,804\,972\,861\,209\,8721}
A220610 a l'OEIS )
∏
r
=
1
4
Γ
(
r
5
)
=
4
π
2
5
≈
17.655
285
081
493
524
2483
{\displaystyle \prod _{r=1}^{4}\Gamma \left({\tfrac {r}{5}}\right)={\frac {4\pi ^{2}}{\sqrt {5}}}\approx 17.655\,285\,081\,493\,524\,2483}
∏
r
=
1
5
Γ
(
r
6
)
=
4
π
5
3
≈
40.399
319
122
003
790
0785
{\displaystyle \prod _{r=1}^{5}\Gamma \left({\tfrac {r}{6}}\right)=4{\sqrt {\frac {\pi ^{5}}{3}}}\approx 40.399\,319\,122\,003\,790\,0785}
∏
r
=
1
6
Γ
(
r
7
)
=
8
π
3
7
≈
93.754
168
203
582
503
7970
{\displaystyle \prod _{r=1}^{6}\Gamma \left({\tfrac {r}{7}}\right)={\frac {8\pi ^{3}}{\sqrt {7}}}\approx 93.754\,168\,203\,582\,503\,7970}
∏
r
=
1
7
Γ
(
r
8
)
=
4
π
7
≈
219.828
778
016
957
263
6207
{\displaystyle \prod _{r=1}^{7}\Gamma \left({\tfrac {r}{8}}\right)=4{\sqrt {\pi ^{7}}}\approx 219.828\,778\,016\,957\,263\,6207}
En general:
∏
r
=
1
n
Γ
(
r
n
+
1
)
=
(
2
π
)
n
n
+
1
{\displaystyle \prod _{r=1}^{n}\Gamma \left({\tfrac {r}{n+1}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{n+1}}}}
A partir d'aquests productes es poden deduir altres valors, per exemple, de les equacions anteriors per a
∏
r
=
1
3
Γ
(
r
4
)
{\displaystyle \prod _{r=1}^{3}\Gamma \left({\tfrac {r}{4}}\right)}
Γ
(
1
4
)
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)}
Γ
(
2
4
)
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {2}{4}}\right)}
Γ
(
3
4
)
=
(
π
2
)
1
4
A
G
M
(
2
,
1
)
1
2
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)=\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{\tfrac {1}{4}}{AGM\left({\sqrt {2}},1\right)}^{\tfrac {1}{2}}}
Altres relacions racionals inclouen
Γ
(
1
5
)
Γ
(
4
15
)
Γ
(
1
3
)
Γ
(
2
15
)
=
2
3
20
5
6
5
−
7
5
+
6
−
6
5
4
{\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\Gamma \left({\tfrac {4}{15}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\tfrac {2}{15}}\right)}}={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{20}]{3}}}{{\sqrt[{6}]{5}}\,{\sqrt[{4}]{5-{\frac {7}{\sqrt {5}}}+{\sqrt {6-{\frac {6}{\sqrt {5}}}}}}}}}}
Γ
(
1
20
)
Γ
(
9
20
)
Γ
(
3
20
)
Γ
(
7
20
)
=
5
4
(
1
+
5
)
2
{\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {9}{20}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {3}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {7}{20}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{2}}}
[5]
Γ
(
1
5
)
2
Γ
(
1
10
)
Γ
(
3
10
)
=
1
+
5
2
7
10
5
4
{\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10}}{\sqrt[{4}]{5}}}}}
i moltes més relacions per a Γ(n / d on el denominador d divideix 24 o 60.[6]
Arguments imaginaris i complexos
modifica
La funció gamma a la unitat imaginària
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
A212877 a l'OEIS ), (successió A212878 a l'OEIS ):
Γ
(
i
)
=
(
−
1
+
i
)
!
≈
−
0.1549
−
0.4980
i
.
{\displaystyle \Gamma (i)=(-1+i)!\approx -0.1549-0.4980i.}
També es pot donar en funció de la funció G de Barnes :
Γ
(
i
)
=
G
(
1
+
i
)
G
(
i
)
=
e
−
log
G
(
i
)
+
log
G
(
1
+
i
)
.
{\displaystyle \Gamma (i)={\frac {G(1+i)}{G(i)}}=e^{-\log G(i)+\log G(1+i)}.}
Curiosament,
Γ
(
i
)
{\displaystyle \Gamma (i)}
[7]
∫
0
π
/
2
{
cot
(
x
)
}
d
x
=
1
−
π
2
+
i
2
log
(
π
sinh
(
π
)
Γ
(
i
)
2
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\{\cot(x)\}dx=1-{\frac {\pi }{2}}+{\frac {i}{2}}\log \left({\frac {\pi }{\sinh(\pi )\Gamma (i)^{2}}}\right).}
on
{
⋅
}
{\displaystyle \{\cdot \}}
part fraccionària .
La funció gamma amb altres arguments complexos dona:
Γ
(
1
+
i
)
=
i
Γ
(
i
)
≈
0.498
−
0.155
i
{\displaystyle \Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.498-0.155i}
Γ
(
1
−
i
)
=
−
i
Γ
(
−
i
)
≈
0.498
+
0.155
i
{\displaystyle \Gamma (1-i)=-i\Gamma (-i)\approx 0.498+0.155i}
Γ
(
1
2
+
1
2
i
)
≈
0.818
163
9995
−
0.763
313
8287
i
{\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i)\approx 0.818\,163\,9995-0.763\,313\,8287\,i}
Γ
(
1
2
−
1
2
i
)
≈
0.818
163
9995
+
0.763
313
8287
i
{\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}i)\approx 0.818\,163\,9995+0.763\,313\,8287\,i}
Γ
(
5
+
3
i
)
≈
0.016
041
8827
−
9.433
293
2898
i
{\displaystyle \Gamma (5+3i)\approx 0.016\,041\,8827-9.433\,293\,2898\,i}
Γ
(
5
−
3
i
)
≈
0.016
041
8827
+
9.433
293
2897
i
.
{\displaystyle \Gamma (5-3i)\approx 0.016\,041\,8827+9.433\,293\,2897\,i.}
Altres constants
modifica
La funció gamma té un mínim local en l'eix real positiu
x
min
=
1.461
632
144
968
362
341
262
…
{\displaystyle x_{\min }=1.461\,632\,144\,968\,362\,341\,262\ldots \,}
A030169 a l'OEIS )amb el valor
Γ
(
x
min
)
=
0.885
603
194
410
888
…
{\displaystyle \Gamma \left(x_{\min }\right)=0.885\,603\,194\,410\,888\ldots \,}
A030171 a l'OEIS ).La integració de la funció gamma inversa al llarg de l'eix real positiu també proporciona la constant de Fransén-Robinson .
En l'eix real negatiu , els primers màxims i mínims locals (zeros de la funció digamma ) són:
Extrem local aproximat de Γ(x )
x Γ(x ) OEIS
−0, 504 083 008 264 455 409 258 269 304
−3, 544 643 611 155 005 089 121 963 993
(successió A175472 a l'OEIS )
−1, 573 498 473 162 390 458 778 286 043
2, 302 407 258 339 680 135 823 582 039
(successió A175473 a l'OEIS )
−2, 610 720 868 444 144 650 001 537 715
−0, 888 136 358 401 241 920 095 528 029
(successió A175474 a l'OEIS )
−3, 635 293 366 436 901 097 839 181 566
0, 245 127 539 834 366 250 438 230 088
(successió A256681 a l'OEIS )
−4, 653 237 761 743 142 441 714 598 151
−0, 052 779 639 587 319 400 760 483 570
(successió A256682 a l'OEIS )
−5, 667 162 441 556 885 535 849 474 174
0, 009 324 594 482 614 850 521 711 923
(successió A256683 a l'OEIS )
−6, 678 418 213 073 426 742 829 855 888
−0, 001 397 396 608 949 767 301 307 488
(successió A256684 a l'OEIS )
−7, 687 788 325 031 626 037 440 098 891
0, 000 181 878 444 909 404 188 101 417
(successió A256685 a l'OEIS )
−8, 695 764 163 816 401 266 488 776 160
−0, 000 020 925 290 446 526 668 753 697
(successió A256686 a l'OEIS )
−9, 702 672 540 001 863 736 084 426 764
0, 000 002 157 416 104 522 850 540 503
(successió A256687 a l'OEIS )
↑ Melquiond , Guillaume; Nowak , W. Georg; Zimmermann , Paul «Numerical approximation of the Masser–Gramain constant to four decimal places». Math. Comp. , 82, 2013, pàg. 1235–1246. DOI : 10.1090/S0025-5718-2012-02635-4 .↑ «Archived copy ». Arxivat de l'original el 2016-02-14. [Consulta: 9 març 2015]. ↑ Cetin Hakimgolu-Brown : iamned.com math page
↑ Mező , István «Duplication formulae involving Jacobi theta functions and Gosper's q -trigonometric functions». Proceedings of the American Mathematical Society , 141, 7, 2013, p. 2401–2410. DOI : 10.1090/s0002-9939-2013-11576-5 .↑ Weisstein , Eric W.«Gamma Function» a MathWorld (en anglès).↑ Raimundas Vidūnas, Expressions for Values of the Gamma Function ↑ The webpage of István Mező [Enllaç no actiu ]
Gramain , F. «Sur le théorème de Fukagawa-Gel'fond». Invent. Math. , 63, 1981, pàg. 495–506. Bibcode : 1981InMat..63..495G . DOI : 10.1007/BF01389066 .Borwein , J. M.; Zucker , I. J. «Fast Evaluation of the Gamma Function for Small Rational Fractions Using Complete Elliptic Integrals of the First Kind». IMA J. Numerical Analysis , 12, 4, 1992, pàg. 519–526. DOI : 10.1093/imanum/12.4.519 .X. Gourdon & P. Sebah. Introduction to the Gamma Function
S. Finch. Euler Gamma Function Constants [Enllaç no actiu ]
Weisstein , Eric W.«Gamma Function» a MathWorld (en anglès).Vidunas , Raimundas «Expressions for values of the gamma function». Kyushu Journal of Mathematics , 59, pàg. 267–283. arXiv : math.CA/0403510 . DOI : 10.2206/kyushujm.59.267 .Vidunas , Raimundas «Expressions for values of the gamma function». Kyushu J. Math. , 59, 2005, pàg. 267–283. arXiv : math/0403510 . DOI : 10.2206/kyushujm.59.267 .Adamchik , V. S. «Multiple Gamma Function and Its Application to Computation of Series ». The Ramanujan Journal , 9, 2005, pàg. 271–288. arXiv : math/0308074 . DOI : 10.1007/s11139-005-1868-3 .Duke , W.; Imamoglu , Ö. «Special values of multiple gamma functions ». J. Theor. Nombres Bordeaux , 18, 1, 2006, pàg. 113–123. DOI : 10.5802/jtnb.536 . 
![{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt[{4}]{4\pi ^{3}e^{2\gamma -\mathrm {\delta } +1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef102369b292beda82513a94c04e130e7dc232d3)
![{\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\Gamma \left({\tfrac {4}{15}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\tfrac {2}{15}}\right)}}={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{20}]{3}}}{{\sqrt[{6}]{5}}\,{\sqrt[{4}]{5-{\frac {7}{\sqrt {5}}}+{\sqrt {6-{\frac {6}{\sqrt {5}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52126d10bd265fbb9ae02f4e9cffc76aa64e1b1f)
![{\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {9}{20}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {3}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {7}{20}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95dbe748f7508e191d98bce8099ddfaedecf243)
![{\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10}}{\sqrt[{4}]{5}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c849db6b4d10213e21b6f070927b56d2e7148e)
