Variància

En teoria de probabilitat, la variància d'una variable aleatòria [1] és una mesura de la dispersió d'una variable aleatòria respecte de la seva mitjana . Es defineix com l'esperança de , això és

on suposem que .

Està relacionada amb la desviació típica, que se sol designar amb la lletra grega i que és l'arrel quadrada de la variància:

En Estadística descriptiva[2] la variància d'un conjunt de dades es defineix per

on és la mitjana aritmètica de les dades:
En Inferència estadística s'utilitzen la variància poblacional i la variància mostral.

Variància d'una variable aleatòriaModifica

La variància de una variable aleatòria   es defineix per

 
on   és l'esperança o mitjana de  , on suposem que  . La segona igualtat s'obté desenvolupant el quadrat i utilitzant que   és una constant. Cal remarcar que si  , aleshores   té esperança. Això es dedueix del fet que per a qualsevol nombre  ,  , d'on,
 
Llavors, traient esperances tenim
 
La desigualtat   es dedueix del fet que  

Interpretació de la variànciaModifica

Considerem tres variables aleatòries. La primera és la constant 0:  que com és evident no varia gens. La segona,   pren els valors 1 i -1 amb probabilitat 1/2; per exemple, correspon a un joc a cara o creu on si surt cara guanyem 1 euro i si surt creu perdem un euro. Finalment,  pren els valors 10 i -10 amb probabilitats 1/2; correspondria al mateix joc que abans però ara guanyaríem o perdríem 10 euros. Les tres variables tenen la mateixa esperança:

 
 
 
D'altra banda,  , i llavors   i llavors  .

Per a  , aplicant la fórmula del càlcul de l'esperança d'una funció d'una variable aleatòria tenim

 
d'on
 
Anàlogament, per a   tenim   i  .

Així, les tres variables tenen igual mitjana, però la primera variable que és una constant té variància 0 (no varia gens respecte la seva mitjana), mentre que  pren valors més propers a la mitjana que

 , i llavors la variància de   és més petita que la de  .

Càlcul de la variància en els casos habitualsModifica

Variables aleatòries discretesModifica

Sigui   una variable aleatòria discreta que pot prendre un nombre finit o infinit numerable de valors   amb probabilitats respectives   Aleshores

 
on   i suposem que  

Exemples

1. Si tenim un dau ordinari, que pren els valors   amb probabilitats

 
aleshores,
 

Aplicant la fórmula del càlcul de l'esperança d'una funció d'una variable aleatòria ,

 
Ara podem calcular la variància de  :
 

2. Sigui   una variable binomial de paràmetres   i  , és a dir, que pot prendre els valors 0,1,...,n, amb probabilitats:
 
aleshores
 
on a la igualtat (*) hem fet el canvi  , i a la igualtat (**) que
 
on  és una variable binomial de paràmetres  .

D'altra banda, per calcular   calcularem primer  . Utilitzant de nou la fórmula per a calcular l'esperança d'una funció d'una variable aleatòria (en aquest cas, la funció  ), i amb arguments similars als anteriors,

 
Així,
 
Aïllant   tenim
 
i aleshores,
 

3. Sigui  una variable aleatòria de Poisson de paràmetre  , és a dir, que pot prendre qualsevol valor natural (0 inclòs) amb probabilitats
 
D'una banda tenim que
 
on a la igualtat (*) hem fet el canvi  , i després hem utilitzat que per a qualsevol nombre  ,  

Per a calcular   farem com en el cas de la binomial i calcularem  : Utilitzant arguments anàlegs als anteriors, tenim

 
D'on es dedueix
 

Variables aleatòries absolutament contínuesModifica

Sigui   una variable aleatòria amb funció de densitat  . Aleshores

 
on  , i suposem  

Exemple Variable normal estàndard. Sigui   una variable aleatòria normal estàndard, amb funció de densitat

 
Integrant per parts,
 
D'altra banda, l'esperança de   val
 

Variables aleatòries sense variànciaModifica

Pot ocórrer que una variable aleatòria no tingui esperança: per exemple, una variable amb distribució de Cauchy. Aleshores la fórmula   no tindrà sentit. Es diu que la variància de   no existeix.

D'altra banda, també pot passar que una variable   tingui esperança, però que  . Aleshores la fórmula de la variància es pot aplicar, però dóna  . En aquest cas també es diu que la variància de   no existeix o que és infinita. Una variable amb distribució t de Student amb dos graus de llibertat està en aquest cas.

Propietats de la variànciaModifica

  1.  , i   si i només si   és una constant quasi segurament.
  2.   essent   i   constants qualssevol.
  3.  
  4. Desigualtat de Txebixev: per a qualsevol constant  
     
  5. Desigualtat de Cauchy-Schwarz. Si   i   són dues variables aleatòries, aleshores,
     

Nova interpretació de la variància gràcies a la desigualtat de Txebixev

La desigualtat de Txebixev permet interpretar de quina manera la variància mesura la "dispersió" d'una variable aleatòria.[3] Si a la fórmula de la desigualtat de Txebixev prenem, per exemple,  , aleshores la probabilitat que la variable s'allunyi de la seva mitjana més de 3 vegades la desviació típica serà menor de  .

Covariància i correlacióModifica

Siguin   i   dues variables aleatòries. Definim la covariància de   i   a

 
on suposem que   Tenim la següent fórmula per a la variància d'una suma de dues variables aleatòries:
 
Més generalment, per a la variància de la suma de   variables aleatòries   tenim
 

Si  , es diu que   i   estan incorrelacionades. En aquest cas, la variància de la suma o la resta de variables es simplifica:

 
on, al cas de la resta, hem aplicat la propietat 2 de l'apartat anterior.

Noteu que si dues variables   i   són independents, aleshores són incorrelacionades, ja que  .


La fórmula de la variància de la suma de   variables també es simplifica: Si  són incorrelacionades dos a dos, és a dir,   per a  , aleshores

 
Sigui   i   dues variables aleatòries tals que   Es defineix el coeficient de correlació entre   i   al nombre
 
Es té que  . A més, si  , aleshores existeixen nombres  , amb  , tals que (quasi segurament)
 
I si  , aleshores existeixen nombres  , amb  , tals que (quasi segurament)
 
Per aquest motiu, el coeficient de correlació s'interpreta com una mesura del grau d'associació lineal entre dues variables (però no del grau d'associació general).

Variància d'una població finitaModifica

En Estadística descriptiva [2]es considera una població (de persones o de coses: també s'anomena univers o col·lectiu) finita, amb   elements, i es mesura una característica numèrica. Els resultats, iguals o diferents, es designen per  . La mitjana o mitjana aritmètica es defineix per

 

La variància es defineix per

 

En general, en les observacions hi ha nombres repetits i només tenim   valors diferents,que escriurem  , de manera que els   nombres es resumeixen en una taula de freqüències:


Valor Freqüència

absoluta

Freqüència

relativa

     
     
     
     
TOTAL    

on   és la freqüència absoluta de la dada  , és a dir, el nombre de vegades que surt aquesta dada, i   és la freqüència relativa. Aleshores la mitjana es calcula per la fórmula

 

i la variància per

 

Atès que la variància de la població descrita per la taula anterior coincideix amb la variància d'una variable aleatòria discreta que prengui els valors   amb probabilitats  , les propietats i fórmules que hem comentat als apartats anteriors també serveixen per aquest cas. Aleshores, per la Propietat 3 de la variància, tenim la fórmula

 

Aquesta fórmula és útil per a calcular la variància amb les dades tabulades. Per exemple, utilitzant freqüències absolutes tenim

         
         
         
         
         
TOTAL      

Llavors dividint el total de la tercera columna per   s'obté  , i dividint el total de la cinquena columna per   s'obté l'altre terme que intervé en la fórmula de la variància.


Per a Variància poblacional i variància mostral vegeu la pàgina desviació tipus.

ReferènciesModifica

  1. Chung, Kai Lai. Teoría elemental de la probabilidad y de los procesos estocásticos, cap . 6. Editorial Reverté, 1983. 
  2. 2,0 2,1 Lobez Urquía, J.; Casa Aruta, E.. Estadística intermedia. Segunda edición. Vicens-Vives, 1975. 
  3. Bonet, E.. Espais de probabilitat finits. Barcelona: Editorial Lavínia, S. A., 1969, p. 158. 

Vegeu tambéModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Variància