En Probabilitat i Estadística, molt sovint al resultat que s'obté en un experiment aleatori o un estudi estadístic se li associem diversos nombres; per exemple, triem una persona a l'atzar i en mesurem el pes i l'alçada: tenim així dues mesures, i , que considerades conjuntament constitueixen un vector aleatori. Formalment, un vector aleatori -dimensional és un vector tal que cada component , és una variable aleatòria.

Definició modifica

Nota. A la secció Exemples al final de l'article hi ha desenvolupats dos exemples amb vectors aleatoris bidimensionals que poden ser útils a les persones que prefereixin començar analitzant casos concrets.


Considerem un espai de probabilitat  . Un vector aleatori  -dimensional [1] és una aplicació   tal que cada component   és una variable aleatòria. També s'anomena variable aleatòria  -dimensional.

Comentaris sobre les notacions.

  1. Hem escrit el vector en fila,[1] però en Estadística multivariant és molt freqüent escriure els vectors en columna,[2] ja que es fan moltes operacions amb matrius i és més convenient seguir les normes estàndard de l'àlgebra lineal. En aquest article escriurem els vectors en fila, excepte a les seccions dedicades a l'esperança d'un vector aleatori i a la matriu de variàncies-covariàncies, i als exemples que tractem de lleis normals multidimensionals.
  2. Per alleugerir les fórmules, s'utilitzen 'comes' com a interseccions; així, donats uns conjunts   de  ,
     
    O bé, en el cas discret que veurem a continuació, per   s'escriu
     

Vectors aleatoris discrets modifica

Un vector aleatori   es diu que es discret si només pot prendre un nombre finit o numerable de valors; en altres paraules, si existeix un conjunt finit o infinit numerable   tal que  .

S'anomena funció de probabilitat (a vegades s'afegeix conjunta) del vector o funció de repartiment de massa a la funció

 

Les distribucions de probabilitat de cadascuna de les components dels vector,  , o dels vectors  ,  ,  , s'anomenen distribucions marginals.

A partir de la funció de probabilitat del vector podem calcular totes les distribucions marginals sumant respecte les altres components: per exemple, per simplificar la notació, la funció de probabilitat de  , on  , és

 

Exemple: Distribució multinomial modifica

Considerem un experiment que pot tenir   resultats diferents, que designarem per  , amb probabilitats  ,  . Fem   repeticions independents i denotem per   el nombre de vegades que obtenim el resultat  , per   el nombre de vegades que obtenim el resultat  , i així successivament. Aleshores la probabilitat d'obtenir   vegades el resultat  ,   vegades el resultat  , etc. amb   és

 

Es diu que el vector   segueix una distribució multinomial [3] de paràmetres  , i s'escriu  . Cal notar que cada component   té una distribució binomial de paràmetres   i  ,  . De fet, una distribució multinomial és una extensió de la distribució binomial quan hi ha més de dos resultats possibles.

Per exemple, tenim una urna amb 4 boles blanques, 3 vermelles i 3 grogues. Traiem   boles amb reemplaçament, és a dir, traiem una bola, anotem el color, la retornem a l'urna, en traiem una altra, etc. Designem per:

 : nombre de boles blanques que traiem.
 : nombre de boles vermelles que traiem.
 : el nombre de boles grogues que traiem.

Aquí,  ,   i  . Llavors, la probabilitat de treure 1 bola blanca, 1 vermella i 2 grogues és

 
A partir d'aquí, podem calcular, per exemple, la distribució marginal del vector aleatori   o la de la variable aleatòria  

Vectors aleatoris absolutament continus o amb funció de densitat modifica

Es diu que un vector aleatori   és absolutament continu, o senzillament continu, si existeix una funció  , anomenada funció de densitat (conjunta), que compleix

1.  
2.
 
3. Per a qualsevol   (en rigor   ha de ser un conjunt de Borel de  ), tenim
 
En particular, si  , tenim

 
A partir de la funció de densitat conjunta pot calcular-se la funció de densitat de qualsevol vector  ,  ,  , que s'anomena la densitat marginal; per exemple, la densitat marginal de  , amb   és

 


Exemple: distribució normal multidimensional modifica

Un vector aleatori  -dimensional amb funció de densitat

 
es diu que té una llei normal multidimensional o multivariada,   on   és la matriu identitat. Cada component del vector té una distribució normal estàndard   .

Vegeu els vectors aleatoris normals multidimensionals generals   als exemples de la secció Funcions d'un vector aleatori amb densitat.

Funcions de distribució multidimensional modifica

La funció de distribució d'un vector aleatori[1]   és la funció   definida per

 

Si el vector aleatori   té funció de densitat  , aleshores la funció de distribució del vector és

 

Si la funció de densitat   és contínua en el punt  , aleshores [4]

 

Variables aleatòries independents modifica

Recordem que es diu que les variables aleatòries   són independents si per a qualsevol conjunts   (en rigor, conjunts de Borel de  ),

 


Designem per   la funció de distribució del vector  , i per   les funcions de distribució de les variables aleatòries   (marginals). Aleshores   són independents si i només si

 


En el cas discret la independència equival a que la funció de probabilitat conjunta sigui igual al producte de marginals:   són independents si i només si

 


En el cas absolutament continu, la propietat d'independència equival a que la densitat conjunta sigui igual al producte de marginals:   són independents si i només si

 

Per exemple, en el cas de la distribució normal multidimensional que hem comentat, les distribucions marginals de les diferents components són lleis normals estàndard: tenim que per a  ,

 
Llavors és clar que es compleix la condició anterior i, per tant, les variables   són independents.

Vectors aleatoris independents modifica

Considerem   vectors aleatoris, que poden ser de dimensions diferents:  . Es diu que són independents si per qualsevol  , on   és la  -àlgebra de Borel sobre  ,

 
Les caracteritzacions de la independència de variables aleatòries en els casos discret i continus es trasllada al cas de vectors aleatoris.

Esperança d'una funció d'un vector aleatori modifica

Sigui   un vector aleatori i   una funció (mesurable), tenim que   és una variable aleatòria de la qual podrem calcular l'esperança quan  . Si   és discret, aleshores

 
sempre que
 
Si   és absolutament continu, aleshores
 
sempre que
 
Naturalment, si tenim una funció   que només fa intervenir una part de  , posem  , amb,  ,  , aleshores l'esperança de   es calcula utilitzant la distribució marginal d'aquest vector.

Moments d'un vector aleatori modifica

Considerem un vector aleatori   i siguin  . Es diu que  moment d'ordre   si  , i, en aquest cas, es defineix el moment d'ordre   (alguns autors diuen moment mixt)[5] per

 
D'acord amb les fórmules que hem vist abans, si el vector és discret, aleshores
 
Si el vector aleatori és absolutament continu,
 
Tenim la següent propietat: Si  , aleshores per a  , tenim que   té moment d'ordre  .[6]

Vegeu els moments factorials en la secció de la funció generatriu de probabilitats.

Esperança d'un vector aleatori modifica

Totes les propietats d'aquesta secció i la següent es troben demostrades a Seber.[7] Atès que farem operacions matricials, en aquesta secció i la següent escriurem tots els vectors en columna; en particular, escriurem en columna els elements de  . Donada una matriu (o vector)   designarem per   la seva transposada. Considerem un vector aleatori   tal que totes les seves components tinguin esperança. Aleshores es defineix l'esperança de   per

 


Propietats

  1. Si  , aleshores  
  2. Siguin   i   dos vectors aleatoris   -dimensionals amb esperances finites, i   i   dues matrius d'ordre  . Aleshores
     

Matriu de variàncies-covariàncies modifica

Continuem escrivint tots els vectors en columna. Si totes les components del vector   tenen variància, aleshores es defineix la seva matriu de variàncies-covariàncies o matriu de dispersió:

 
Atès que  , aquesta matriu també s'escriu
 

Propietats modifica

1. Donat que  , la matriu   es simètrica.
2. La matriu   és semidefinida positiva, ja que per qualsevol  ,

 
A més, el determinant de la matriu   és 0 si i només si hi ha una relació lineal entre les variables  , això és, existeixen escalars  , no tots nuls, tals que
 
3. Si   és un vector   -dimensional,   una matriu   i  , aleshores
 

Exemples

1. Sigui  . Aleshores, donat que cada component   té una distribució binomial  ,

 
També tenim que   Per calcular les covariàncies cal utilitzar la marginal de   i s'obté que
 
(vegeu els exemples de la secció Funció característica). Així,
 
2. En el cas del vector normal multidimensional  . D'altra banda,   i, atès que les variables són independents,  . Llavors 

Ampliació: Matriu de covariàncies entre dos vectors modifica

En el que segueix és convenient introduir les matrius aleatòries que són matrius tals que les seves components són variables aleatòries. Sigui   una d'aquestes matrius, de dimensions  :

 
S'anomena esperança de la matriu aleatòria   a la matriu
 
Sigui   un vector aleatori   -dimensional i   un vector aleatori   -dimensional ambdós amb moments de segon ordre. S'anomena matriu de covariàncies de   i   a la matriu de dimensions  
 
Propietats.
  1. Si   aleshores la matriu de covariàncies coincideix amb la matriu de variàncies-covariàncies:  
  2. Si   i  , aleshores
     
  3. En particular,
     
  4. Siguin   i   dos vectors aleatoris de dimensions   i   respectivament i   i   matrius de dimensions   i   respectivament, aleshores
     

Funció característica i altres transformades modifica

Funció característica modifica

La funció característica d'un vector aleatori   és la funció   definida per

 
Les funcions característiques de les distribucions marginals es dedueixen fàcilment de la funció característica conjunta; per exemple, per simplificar les notacions, per a  ,
 

Propietats.[8]

Unicitat. La funció característica determina la distribució del vector  ; concretament, si   i   són dos vectors aleatoris, amb funcions característiques   i   respectivament, tals que

 
aleshores   i   tenen la mateixa distribució (tenen la mateixa funció de distribució, o si són discrets tenen la mateixa funció de probabilitat, o si són absolutament continus tenen la mateix funció de densitat). La propietat recíproca evidentment també és certa.

Funció característica i independència. Els vectors aleatoris  -dimensionals   són independents si i només si

 
Funció característica i suma de vectors aleatoris independents. Siguin   vectors aleatoris  -dimensionals independents i posem
 
Aleshores
 

Funció característica i moments. La següent propietat és especialment útil per a calcular els moments d'un vector aleatori: Si el vector aleatori   compleix  , on  , aleshores la funció característica   és de classe   i per a  ,  ,

 
Recíprocament, si la funció característica   és de classe   per a   parell, aleshores el vector   té moments d'ordre   per qualsevol  ,  Exemple. Vector multinomial. Retornem al vector multinomial  . La seva funció característica és
 
El vector   té moments de tots els ordres perquè les seves components són variables aleatòries positives i afitades per  . Podem calcular   de la següent manera:
 
d'on
 
Exemple: Vector normal multidimensional. El vector   té funció característica
 

Funció generatriu de moments modifica

Sigui   un vector aleatori. La funció

 
definida en aquells punts  on l'esperança de la dreta és finita, s'anomena funció generatriu de moments [9] de  . Atès que per qualsevol nombre real  ,  , sempre es pot calcular l'esperança de  , però pot donar infinit. Evidentment, sempre està definida en   i  . Quan està definida (o existeix) en un entorn de  , aleshores té molt bones propietats i pot substituir la funció característica, amb l'avantatge que és una funció real i, per tant, més fàcil d'utilitzar; d'altra banda, en aquest cas, es pot estendre el domini de definició a un subconjunt de  .[10]

Afortunadament, molts vectors aleatoris que apareixen habitualment en l'Anàlisi de la variància i en l'Anàlisi estadística multivariant tenen funció generatriu de moments,[11] però no tots, tal com després veurem.

Alguns autors [10] anomenen transformada de Laplace la funció generatriu de moments; si el vector aleatori   només pren valors positius i té funció de densitat  , aleshores

 
que, a part del signe de  , és la transformada de Laplace (multidimensional) de la funció  .[12]

Les tres propietats següents són especialment útils:

Unicitat.[11] Si la funció generatriu de moments d'un vector aleatori està definida en un entorn de  , aleshores determina unívocament la distribució d'aquest vector.

Independència.[11] Siguin   i   dos vectors aleatoris tal que el vector   té funció generatriu de moments definida en un entorn de zero. Aleshores   són independents si i només si

 
Moments.[9] Si un vector aleatori   té funció generatriu de moments en un entorn de  , aleshores té moments de tots els ordres i
 

Exemples

  1. Vector multinomial  . La funció generatriu és
     
  2. Vector normal multidimensional  .
     
  3. Vectors aleatoris sense funció generatriu de moments. Segons hem comentat, un vector aleatori amb funció generatriu de moments en un entorn de   té moments de tots els ordres. Per tant, qualsevol vector que contingui alguna component que no tingui moments de qualsevol ordre no tindrà funció generatriu de moments. Per exemple, una distribució  -multidimensional.[13]

Funció generatriu de probabilitats modifica

Sigui   un vector aleatori que només prengui valors naturals (zero inclòs), amb funció de probabilitats  . S'anomena funció generatriu de probabilitats [5] a la funció

 
(Amb el conveni  ). La sèrie de la dreta és una sèrie de potències multidimensional, que és absolutament convergent per a  , ja que
 
. A vegades la regió de convergència és més gran que  . Alguns autors defineixen aquesta funció per al camp complex, ja que la sèrie és absolutament convergent per a  , amb   i potser en conjunts més grans de  .

La funció generatriu de probabilitats està relacionada amb la funció generatriu de moments per la fórmula:

 
Aquesta funció s'utilitza molt en situacions on intervenen vectors aleatoris que només prenen valors naturals, com els processos de ramificació.[14]

Propietats.[14]

1. La funció   és contínua i infinitament diferenciable en  .
2. Fórmula d'inversió i unicitat. La funció de probabilitat del vector   es pot recuperar a partir de la funció generatriu de probabilitat:
 

En conseqüència, la funció generatriu de probabilitats determina la distribució del vector  .

3. Moments factorials. Per a   i  , designem per   el factorial decreixent:[15]
 

Noteu que si   i  , llavors  . S'anomena moment factorial [16] d'ordre   del vector  a

 
Aleshores, aquesta esperança és finita si i només si[14]
 
i en aquest cas,
 
4. Suma de vectors aleatoris independents. Siguin   i   dos vectors aleatoris que només prenen valors naturals. Aleshores
 

Exemple. Vector multinomial  . La funció generatriu de probabilitat és

 

Funcions d'un vector aleatori amb densitat modifica

Les transformacions d'un vector aleatori són especialment importants tant en la teoria com en les aplicacions, i és molt convenient disposar d'eines per determinar la distribució del vector transformat a partir de l'inicial. Si   és un vector aleatori  -dimensional amb funció de densitat i   és una bona funció, aleshores   també té funció de densitat i hi ha fórmules per calcular-la. De fet, si el vector   està concentrat en un subconjunt  , és a dir, si  , aleshores la funció   només ha d'estar definida en aquest conjunt.

Propietat.[17] Sigui   un vector aleatori amb funció de densitat conjunta  . Suposem que   on   és un conjunt obert de  . Sigui   on   és un obert de  ,   bijectiva de classe  , amb determinant jacobià no nul sobre  :

 
Designem la inversa de   per  . Aleshores el vector aleatori   és absolutament continu amb densitat
 

Exemple. Vector aleatori normal multidimensional. En aquest exemple escriurem tots els vectors en columna. Sigui   un vector aleatori normal multidimensional com el que hem introduït anteriorment. Considerem una matriu   definida positiva   i un vector  . Existeix [18] una única matriu definida positiva[19]   tal que  . Definim el vector   per

 
Així, l'aplicació que estem considerant és   donada per
 
Noteu que  .

L'aplicació inversa és

 
on   és la matriu inversa de  . La matriu jacobiana de   és  , que té determinant diferent de zero a tot  . La densitat de   és
 
Llavors, la densitat de   és
 

Es diu que   té una llei normal multidimensional  . D'acord amb les propietats que hem vist sobre el vector d'esperances i la matriu de variàncies-covariàncies tenim que

 
i
 

Extensió. La propietat anterior es pot estendre al cas que la funció   es pugui descompondre en una funció bijectiva a trossos. Concretament tenim:[20] Sigui   un vector aleatori  -dimensional, amb funció de densitat conjunta  . Suposem que   amb  , on   són oberts de   disjunts dos a dos. Sigui   tal que les restriccions   són bijectives de classe   amb determinant jacobià no nul (els conjunts   no cal que siguin disjunts dos a dos i, de fet, poden ser iguals). Designem per   la inversa de  . Aleshores el vector aleatori   és absolutament continu amb densitat

 
on,   és la funció indicador del conjunt  :
 

Distribucions condicionades modifica

Cas discret modifica

Sigui   un vector aleatori discret amb funció de probabilitat  . Considerem una de les components del vector, per exemple, per simplificar les notacions, l'última,  , amb funció de probabilitat marginal  , i fixem   tal que  . S'anomena distribució de   condicionada per   a la probabilitat donada per la funció de probabilitat

 
Més generalment, per a   podem considerar el vector   (per simplificar les notacions); fixat   tal que  , definim la distribució de   condicionada per   a la probabilitat donada per la funció de probabilitat
 
Exemple. Considerem un vector multinomial  . Aleshores, fixat  , la distribució de   condicionada per   és
 
Per tant,   condicionat a   té una distribució multinomial  .

En general,[21] fixats   tals que  , el vector   condicionat per   té una distribució multinomial  , on

 

Cas absolutament continu modifica

Sigui   un vector aleatori amb funció de densitat conjunta  . Per a   fixats   tals que  , definim la densitat condicionada de   condicionada per  

 

Exemple. Vector normal multidimensional.. Sigui   un vector normal multidimensional (de nou aquí escriurem tots els vectors en columna), i  . Escrivim

 
 
D'altra banda, partim la matriu   de la següent manera:
 
on  . Noteu que  . Aleshores,[22] la distribució   condicionada per   (escrivim  ) és normal mutidimensional   on
 
En particular, per a  , si posem
 
tenim que   condicionada per   té una distribució normal   on
 

Exemples modifica

Aquests exemples tracten de vectors aleatoris bidimensionals, que habitualment és denoten per   en lloc de  .

Exemple 1. Vector aleatori bidimensional discret modifica

Tirem una moneda tres cops. El model probabilístic que prendrem és  , que té 8 elements;   és la col·lecció de tots els subconjunts de  , i   assigna a tots els resultats la mateixa probabilitat 1/8. Siguin

 : nombre de cares que surt.
 : diferència, en valor absolut, entre el nombre de cares i de creus.

Aleshores   pot prendre els valors 0, 1, 2 o 3, i   pot valer 1 o 3. Llavors, el vector   pot prendre els valors (0,1), (0,3), (2,1), (2,3), (3,1) o (3,3). El conjunt

 
s'anomena el suport de la distribució del vector. Notem que   Calculem les probabilitats que prengui cadascun dels valors del suport. Recordem que per alleugerir les fórmules s'utilitzen 'comes' en lloc d'interseccions):
 .
 
  (noteu que l'ordre en què surten els resultats s'ha de tenir en compte).

I així successivament. De fet, els punts (0,1), (1,3), (2,3) i (3,1) es poden treure del suport, ja que tenen probabilitat zero, i per a certes fórmules és convenient fer-ho per evitar expressions sense sentit. La funció

 
s'anomena funció de probabilitat conjunta o funció de repartiment de massa del vector   . Quan hi ha un nombre petit de casos, com en aquest exemple, la funció de probabilitat s'acostuma a posar en una taula, anomenada taula de probabilitats conjuntes del vector i que determina la llei o distribució del vector.

 

Distribucions marginals

A partir d'aquesta taula, sumant per files o columnes, es dedueixen les funcions de probabilitat de les variables   i  , que denotem per   i   i que s'anomenen distribucions marginals de   i de   respectivament, o taules de probabilitats marginals:

 
Independència de variables aleatòries Recordem que dues variables aleatòries   i   es diu que són independents si per a qualsevol   (en rigor, conjunts de Borel  ), els esdeveniments   i   són independents, això és,
 
Quan ambdues variables són discretes, aquesta condició es redueix a una sobre la funció de probabilitat conjunta: Les variables   i   són independents si i només si
 
A l'exemple és evident que aquesta propietat no es compleix: per exemple,
 

Distribucions condicionades

Atès que l'esdeveniment   (obtenir exactament una cara) té probabilitat estrictament positiva, podem calcular les probabilitat condicionada:

 

Anàlogament,

 
Per tant, fixat  , tenim definida una probabilitat sobre el conjunt  , de fet, només cal considerar el conjunt  , que s'anomena la distribució de   condicionada per