Obre el menú principal

Espai euclidià

(S'ha redirigit des de: Vectors euclidians)

Un espai euclidià és un espai vectorial normat de dimensió finita, en què la norma és heretada d'un producte escalar.[1]

Primera aproximacióModifica

L'espai euclidià treu el seu nom del matemàtic grec Euclides.

Històricament, l'espai euclidià és només l'espai físic de 2 o 3 dimensions, el pla o l'espai, en el qual estan definits el punts.

Aquests espais euclidians naturals són els universos en què van ser demostrats tots els grans teoremes de la geometria plana o de l'espai. I són els objectes d'estudi de tots els geòmetres des d'abans d'Euclides fins al segle XIX.

En el segle XIX, aquesta visió de l'espai comença a mostrar els seus límits. I és, en aquest moment, que es va veure la necessitat de donar-li unes definicions més formals i més generals.

Definicions matemàtiquesModifica

Espai vectorial euclidiàModifica

Un espai vectorial euclidià és un espai vectorial sobre  , de dimensió finita n i dotat d'un producte escalar.

En qualsevol espai vectorial, sempre s'hi pot trobar una base ortonormal. En una tal base, es defineix el producte escalar canònic per:

 .

Quan es té definit un producte escalar, és possible definir una norma, que s'anomena norma euclidiana:

 

i que també permet introduir la noció d'angle: l'angle geomètric entre dos vectors u, v no nuls, és un valor real   comprès entre 0 i π, tal que:

 

Espai afí euclidiàModifica

Un espai afí euclidià és l'espai afí associat a un espai vectorial euclidià.

S'hi pot definir una distància, nocions de l'angle geomètric, s'hi retroba el teorema de Pitàgores i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle.

Exemples d'espai vectorial euclidiàModifica

  • L'espai  , amb el producte escalar euclidià:
 

és un espai vectorial euclidià de dimensió n.

 

és un espai euclidià de dimensió  .

 

és també un espai euclidià amb una norma diferent.

Propietats dels espais euclidiansModifica

  • En tot espai euclidià, es pot definir una base ortonormal. Més concretament, si   és una base de  , existeix una base   ortonormal, tal que per a tot   entre 1 i n, es compleix que:
 .

en què s'entén per   la varietat lineal engendrada per aquells   elements de la base.

  • Tot espai vectorial euclidià de dimensió   és isomorf a  .
  • Tot espai vectorial euclidià és complet. És, per tant, un cas particular d'espai de Banach.
  • Dos vectors amb producte escalar nul es diuen ortogonals. En tot subespai vectorial   d'un espai euclidià   es pot associar un únic subespai   format per tots els vectors ortogonals a tots els vectors de  , que és el seu ortogonal.
  • Si   és un vector de  , l'aplicació producte escalar per  ,  és una forma lineal. L'aplicació que associa   a   és un isomorfisme de l'espai vectorial   en el seu dual  .
  • Si   és un endomorfisme de  , existeix un únic endomorfisme, que s'escriurà per   i anomenat adjunt de  , tal que:
 

Es defineix les nocions d'endomorfisme simètric si  , i endomorfisme antisimètric si  .

En una base ortonormal, la matriu de   és la transposada de  .

ReferènciesModifica

  1. «espai d’Euclides». L'Enciclopèdia.cat. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.