Bucle (àlgebra)

En matemàtiques, un bucle o llaç és una estructura algebraica consistent en un conjunt dotat d'una llei de composició interna amb element neutre i on tot element té un element invers. Un bucle és doncs, un magma amb divisibilitat i element neutre.

Relació del bucle amb altres estructures algebraiques a partir de les propietats de la seva llei de composició interna, en anglès.

Amb altres paraules, $(E,\star ,e)$ és un bucle si:

1. $\forall (x,y):E^{2},\ x\star y\in E$ (llei de composició interna).
2. $\forall x:E,\exists _{1}e:E,\ x\star e=e\star x=x$ (element neutre). Noteu que l'element neutre és únic i bilàter.
3. $\forall x:E\ \ \exists x^{\lambda },x^{\rho }:E\ \ x^{\lambda }\star x=e=x\star x^{\rho }$ (existència d'element simètric). Per a cada x existeix un únic element simètric per l'esquerra, $x^{\lambda }$, i un únic element simètric per la dreta, $x^{\rho }$. Noteu que el simètric per l'esquerra pot ser diferent al simètric per la dreta.

Si el bucle és associatiu aleshores queda garantit que $x^{\lambda }=x^{\rho }$, i l'element simètric és bilàter i únic per a cada x, amb la qual cosa tenim un grup.

Exemples

• Els nombres enters amb la subtracció són un bucle.
• Els nombres racionals diferents de zero (ℚ^*) amb la divisió són un bucle.
• Els nombres reals diferents de zero (ℝ^*) amb la divisió són un bucle.
• Sigui S un conjunt amb els següents elements $S=\{a,b,c,d,e,f\}$ i sigui $\otimes$ una operació interna en S. A la taula següent es mostren els resultats d’operar tots els elements entre ells amb $\otimes$, on la primera fila representa l'operand per l'esquerra i la primera columna l'operand per la dreta:

$\otimes$	a	b	c	d	e	f
a	b	d	e	c	f	a
b	e	a	d	f	c	b
c	d	e	f	b	a	c
d	c	f	a	e	b	d
e	f	c	b	a	d	e
f	a	b	c	d	e	f

El conjunt S amb aquesta operació són un bucle:

L'operació és una llei de composició interna

Tots els elements d'arribada són també elements en S.

Existeix un element neutre

L'element neutre del conjunt és f, ja que per a qualsevol element n del conjunt es compleix que $n\otimes f=f\otimes n=n$.

Existeix un element invers per a tots els elements del conjunt

L’element invers i és aquell element el qual, sent operat per l’esquerra i per la dreta amb un element qualsevol n dins de S, dona com a resultat l’element neutre, que en el cas d'aquest conjunt és f. Com es pot apreciar a la taula, tots els elements del conjunt tenen un invers per les dues bandes.

L'operació no és associativa en el conjunt

Això es pot verificar amb el següent exemple: $a\otimes (b\otimes c)\neq (a\otimes b)\otimes c$. Al costat esquerre es té, per una banda, que el resultat d'operar b amb c és e i que $a\otimes e=f$. Al costat dret, per altra banda, es té que $a\otimes b=e$ i que $e\otimes c=a$. Per tant, aquesta operació no és associativa en S.

La divisió és sempre possible

Ja que, per a dos elements n i m qualssevol en S, es compleix que existeix un divisor x per l’esquerra i un divisor y per la dreta tals que $x\otimes n=n\otimes y=m$. Podem comprovar que la divisió és sempre possible verificant que totes les files i columnes tinguin els sis elements del conjunt sense repetir-se, ja que això indica que es pot obtenir qualsevol element m operant qualsevol n del conjunt amb un divisor per l’esquerra i altre per la dreta.

Vegeu també

• Grup, bucle amb associativitat.
• Quasigrup, bucle sense element neutre.

Bibliografia

• Bourbaki, N. Algèbre, Chapitres 1 à 3 (en francès). París: Hermann, 1970. 
• Weisstein, Eric W. «Loop» (en anglès). MathWorld. Wolfram Research, Inc.. Arxivat de l'original el 2 de desembre 2013. [Consulta: 27 novembre 2013].
• Albert, A. A.. Studies in Modern Algebra (en anglès). Washington, DC: Associació Americana de Matemàtiques, 1963. 

Viccionari