Distribució de Burr

En teoria de la probabilitat, estadística i econometria, la distribució de Burr de tipus XII, o simplement la distribució de Burr és una distribució de probabilitat contínua d'una variable aleatòria no negativa. També es coneix com la distribució de Singh-Maddala i és una de les diferents distribucions que de vegades s'anomenen «distribució log-logística generalitzada».

Distribució de Burr de tipus XII

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució de probabilitat contínua i distribució de Champernowne
Paràmetres	$c>0\!$ $k>0\!$
Suport	$x>0\!$
fdp	$ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\!$
FD	$1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}$
Esperança matemàtica	$\mu _{1}=k\operatorname {\mathrm {B} } (k-1/c,\,1+1/c)$ on Β() és la funció beta
Mediana	$\left(2^{\frac {1}{k}}-1\right)^{\frac {1}{c}}$
Moda	$\left({\frac {c-1}{kc+1}}\right)^{\frac {1}{c}}$
Variància	$-\mu _{1}^{2}+\mu _{2}$
Coeficient de simetria	$2\mu _{1}^{3}-3\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{3}$
Curtosi	$-3\mu _{1}^{4}+6\mu _{1}^{2}\mu _{2}-4\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{4}$ on els moments (vegeu) $\mu _{r}=k\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {ck-r}{c}},\,{\frac {c+r}{c}}\right)$

Si X segueix una distribució de Burr, s'escriurà $X\sim SM(c,k)$.

La distribució de Burr té la funció de densitat de probabilitat:

$f(x;c,k)={\begin{cases}ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}$

$f(x;c,k,\lambda )={\frac {ck}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k-1}$

i la funció de distribució acumulada (FD):

$F(x;c,k)={\begin{cases}1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}$

$F(x;c,k,\lambda )=1-\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k}$

Si c=1, llavors la distribució de Burr es converteix en la distribució de Pareto de tipus II.

Quan k=1, la distribució de Burr és un cas especial de la distribució de Champernowne.

La distribució de Burr tipus XII és un membre d'un sistema de distribucions contínues introduïdes per Irving W. Burr (1942), que comprenen 12 distribucions.

Bibliografia

• Rodriguez, R. N. «A guide to Burr Type XII distributions». Biometrika, 64, 1, 1977, pàg. 129–134. DOI: 10.1093/biomet/64.1.129.

Vegeu també

• Distribució de Dagum, també coneguda com la distribució de Burr inversa.