Funció trigamma

En matemàtiques, la funció trigamma, denotada ψ₁(z), és la segona de les funcions poligamma, i està definida per

Representació en color de la funció trigamma, ψ₁(z) en una regió rectangular del pla complex.

$\psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)$.

D'aquesta definició es desprèn que

$\psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)$

on ψ(z) és la funció digamma. També es pot definir com la suma de la sèrie

$\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},$

convertint-lo en un cas especial de la funció zeta de Hurwitz.

$\psi _{1}(z)=\zeta (2,z).$

Tingueu en compte que les dues últimes fórmules són vàlides quan 1 − z no és un nombre natural.

Representació

Una representació, en forma d'integral doble, com una alternativa a una de les donades anteriorment, es pot derivar de la representació en forma de sèrie:

$\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{y(1-x)}}\,dx\,dy$

utilitzant la fórmula per a la suma d'una sèrie geomètrica. Integrant per parts s'obté:

$\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx$

Una expansió asimptòtica com una sèrie de Laurent és

$\psi _{1}(z)={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}}{z^{k+1}}}$

(si, per exemple, es tria B₁ = 1/2, obtenim nombres de Bernoulli).

Fórmules de recurrència i reflexió

La funció trigamma satisfà la relació de recurrència

$\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}$

i la fórmula de reflexió

$\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,$

que immediatament dona el valor de z = 1/2: $\psi _{1}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\pi ^{2}}{2}}$.

Valors especials

La funció trigamma té els següents valors especials:

${\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\quad \end{aligned}}$

on G representa la constant de Catalan.

No hi ha arrels a l'eix real de ψ₁, però existeixen infinitat de parells d'arrels z_n, z_n per a Re z < 0. Cada parell d'arrels s'acosta ràpidament a Re z_n = −n + 1/2 i la seva part imaginària augmenta logarítmicament lent amb n. Per exemple, z₁ = −0.4121345... + 0.5978119...i i z₂ = −1.4455692... + 0.6992608...i són les dues primeres arrels amb Im(z) > 0.

Relació amb la funció de Clausen

La funció digamma amb arguments racionals es pot expressar en termes de funcions trigonomètriques i logaritmes pel teorema de la digamma. Un resultat similar es manté per a la funció trigamma, però les funcions circulars se substitueixen per la funció de Clausen. És a dir,

$\psi _{1}\left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2\sin ^{2}(\pi p/q)}}+2q\sum _{m=1}^{(q-1)/2}\sin \left({\frac {2\pi mp}{q}}\right){\textrm {Cl}}_{2}\left({\frac {2\pi m}{q}}\right).$

Càlcul aproximat

Un mètode fàcil per obtenir un valor aproximat de la funció trigamma és prendre la derivada de l'expansió en sèrie de la funció digamma.

$\psi _{1}(x)\approx {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {1}{30x^{5}}}+{\frac {1}{42x^{7}}}-{\frac {1}{30x^{9}}}+{\frac {5}{66x^{11}}}-{\frac {691}{2730x^{13}}}+{\frac {7}{6x^{15}}}$

Aparició

La funció trigamma apareix en aquesta fórmula de suma sorprenent:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left(\psi _{1}{\bigg (}n-{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}+\psi _{1}{\bigg (}n+{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\right)=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\left(5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).$

Bibliografia

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. «§6.4 Gamma function and related functions (6.4. Polygamma Functions)». A: Handbook of Mathematical Functions (en anglès). Nova York: Dover Publications, 1964, p. 260. ISBN 0-486-61272-4. 
• Weisstein, Eric W. «Trigamma Function» (en anglès). MathWorld (A Wolfram Web Resource).

Vegeu també

• Funció gamma
• Funció digamma (no confondre amb la funció gamma doble).
• Funció poligamma (no confondre amb la funció gamma múltiple).
• Constant de Catalan