Harmònics esfèrics
En matemàtiques i ciències físiques, els harmònics esfèrics són funcions especials definides a la superfície d'una esfera. Sovint s'utilitzen per resoldre equacions diferencials parcials en molts camps científics. Una llista dels harmònics esfèrics està disponible a la Taula d'harmònics esfèrics.[1]
Com que els harmònics esfèrics formen un conjunt complet de funcions ortogonals i, per tant, una base ortonormal, cada funció definida a la superfície d'una esfera es pot escriure com una suma d'aquests harmònics esfèrics. Això és similar a les funcions periòdiques definides en un cercle que es poden expressar com una suma de funcions circulars (sinus i cosinus) mitjançant sèries de Fourier. Igual que els sinus i cosinus de la sèrie de Fourier, els harmònics esfèrics es poden organitzar per freqüència angular (espacial), tal com es veu a les files de funcions de la il·lustració de la dreta. A més, els harmònics esfèrics són funcions base per a representacions irreductibles de SO(3), el grup de rotacions en tres dimensions, i per tant tenen un paper central en la discussió teòrica de grup de SO(3).
Els harmònics esfèrics s'originen a partir de la resolució de l'equació de Laplace en els dominis esfèrics. Les funcions que són solucions de l'equació de Laplace s'anomenen harmònics. Malgrat el seu nom, els harmònics esfèrics prenen la seva forma més simple en coordenades cartesianes, on es poden definir com a polinomis homogenis de grau en que obeeixen a l'equació de Laplace. La connexió amb coordenades esfèriques sorgeix immediatament si s'utilitza l'homogeneïtat per extreure un factor de dependència radial del polinomi de grau esmentat anteriorment ; el factor restant es pot considerar en funció de les coordenades angulars esfèriques i només, o de manera equivalent, del vector unitari d'orientació especificat per aquests angles. En aquest entorn, es poden veure com la porció angular d'un conjunt de solucions de l'equació de Laplace en tres dimensions, i aquest punt de vista sovint es pren com una definició alternativa. Observeu, però, que els harmònics esfèrics no són funcions de l'esfera que siguin harmòniques respecte a l'operador de Laplace-Beltrami per a la mètrica rodona estàndard de l'esfera: les úniques funcions harmòniques en aquest sentit a l'esfera són les constants, ja que les funcions harmòniques. satisfer el principi de màxim. Els harmònics esfèrics, com a funcions a l'esfera, són funcions pròpies de l'operador de Laplace-Beltrami (vegeu la secció Dimensions més altes a continuació).
Un conjunt específic d'harmònics esfèrics, denotats o , són coneguts com els harmònics esfèrics de Laplace, ja que van ser introduïts per primera vegada per Pierre Simon de Laplace el 1782. Aquestes funcions formen un sistema ortogonal i, per tant, són bàsiques per a l'expansió d'una funció general a l'esfera tal com s'ha al·ludit anteriorment.
Els harmònics esfèrics són importants en moltes aplicacions teòriques i pràctiques, incloent la representació de camps electroestàtics i electromagnètics multipolars, configuracions d'electrons, camps gravitatoris, geoides, camps magnètics de cossos planetaris i estrelles, i la radiació còsmica de fons de microones. En els gràfics per ordinador 3D, els harmònics esfèrics tenen un paper en una gran varietat de temes, com ara la il·luminació indirecta (oclusió ambiental, il·luminació global, transferència de radiació precomputada, etc.) i el modelatge de formes 3D.[2]
Història modifica
Els harmònics esfèrics es van investigar per primera vegada en relació amb el potencial newtonià de la llei de gravitació universal de Newton en tres dimensions. El 1782, Pierre-Simon de Laplace havia determinat, a la seva Mécanique Céleste, que el potencial gravitatori en un punt x associat a un conjunt de masses puntuals mi situades en els punts xi venia donada per [3]
El 1867, William Thomson (Lord Kelvin) i Peter Guthrie Tait van introduir els harmònics esfèrics sòlids al seu Tractat de filosofia natural, i també van introduir per primera vegada el nom d'"harmònics esfèrics" per a aquestes funcions. Els harmònics sòlids eren solucions polinomials homogènies de l'equació de Laplace
El desenvolupament de les sèries de Fourier al segle XIX va fer possible la solució d'una gran varietat de problemes físics en dominis rectangulars, com ara la solució de l'equació de calor i l'equació d'ona. Això es podria aconseguir mitjançant l'expansió de funcions en sèries de funcions trigonomètriques. Mentre que les funcions trigonomètriques d'una sèrie de Fourier representen els modes fonamentals de vibració en una corda, els harmònics esfèrics representen els modes fonamentals de vibració d'una esfera de la mateixa manera. Molts aspectes de la teoria de les sèries de Fourier es podrien generalitzar prenent expansions en harmònics esfèrics en lloc de funcions trigonomètriques. A més, de manera anàloga a com les funcions trigonomètriques es poden escriure de manera equivalent com a exponencials complexes, els harmònics esfèrics també posseïen una forma equivalent a les funcions de valors complexos. Això va ser un benefici per als problemes que posseïen simetria esfèrica, com els de la mecànica celeste estudiada originalment per Laplace i Legendre.
La prevalença dels harmònics esfèrics ja en la física va establir l'escenari per a la seva importància posterior en el naixement de la mecànica quàntica al segle XX. Els harmònics esfèrics (de valor complex). són funcions pròpies del quadrat de l'operador del moment angular orbital
Harmònics esfèrics de Laplace modifica
L'equació de Laplace imposa que el laplacià d'un camp escalar f és zero. (Aquí s'entén que el camp escalar és complex, és a dir, que correspon a una funció (lisa). .) En coordenades esfèriques això és:
ℓ(cos θ). Finalment, l'equació de R té solucions de la forma ; requerint que la solució sigui regular al llarg de R3 forces B = 0.
Aquí es va suposar que la solució tenia la forma especial Y(θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ). Per a un valor donat de ℓ, hi ha 2ℓ + 1 solucions independents d'aquesta forma, una per a cada enter m amb −ℓ ≤ m ≤ ℓ. Aquestes solucions angulars són un producte de funcions trigonomètriques, aquí representades com una exponencial complexa, i polinomis de Legendre associats:
Referències modifica
- ↑ «Spherical Harmonics | Brilliant Math & Science Wiki» (en anglès americà). [Consulta: 14 abril 2024].
- ↑ «The Spherical Harmonics» (en anglès). [Consulta: 13 abril 2024].
- ↑ Weisstein, Eric W. «Spherical Harmonic» (en anglès). [Consulta: 14 abril 2024].
- ↑ Weisstein, Eric W. «Spherical Harmonic» (en anglès). mathworld.wolfram.com. [Consulta: 10 maig 2023].
- ↑ «Spherical Harmonics» (en anglès), 31-10-2016. [Consulta: 14 abril 2024].