Usuari:Sebas081001/Semisimple Lie algebra

En matemàtiques, una àlgebra de Lie és semisimple si es tracta d'una suma directa de l' algebra de Lie és a dir, no abelià àlgebres de Lie ${\displaystyle }$ els únics ideals són {0} i ${\displaystyle }$ propi.

Al llarg de l'article, llevat que s'indiqui el contrari, ${\displaystyle }$ és un no nul finit-dimensional Lie àlgebra sobre un camp de característiques 0. Les condicions següents són equivalents:

• ${\displaystyle }$ és semisimple
• la Matança forma, κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), és la no-degenerada,
• ${\displaystyle }$ no té cap no-zero abelian ideals,
• ${\displaystyle }$ no té cap no-zero solució ideals,
• El radical (maximal solució ideal) de ${\displaystyle }$ és zero.

Exemples

Exemples de semisimple àlgebres de Lie, amb la notació que ve de classificació per Dynkin esquemes, és:

• ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$la especial lineal àlgebra de Lie.
• ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$el senar-dimensional especial ortogonal Lie àlgebra.
• ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$la symplectic Lie àlgebra.
• ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$,- fins i tot dimensions especial ortogonal Mentida àlgebra.

Aquestes àlgebres de Lie es numeren de manera que n és el rang. Excepte certes excepcions a la baixa dimensions, molts d'aquests són simples àlgebres de Lie, que són a fortiori semisimple. Aquestes quatre famílies, juntament amb cinc excepcions (E₆E₇E₈, F₄, i G₂), són, de fet, l' únic simple àlgebres de Lie sobre els nombres complexos.

Classificació

Les àlgebres de Mentida senzilles són classificades pel connectat Dynkin esquemes.

Cada Lie semisimple àlgebra sobre un algebraically camp tancat de característiques 0 és una suma directa de simple àlgebres de Lie (per definició), i el finit-dimensional simple Lie àlgebres de caure en quatre famílies – A_n, B_n, C_ni D_n – amb cinc excepcions E₆E₇E₈, F₄, i G₂. Simple Lie àlgebres són classificats pels diagramas de Dynkin connectats, es mostra a la dreta, mentre que semisimple àlgebres de Lie no corresponen necessàriament lligats als diagrames de Dynkin, on cada component del diagrama correspon a una suma de la descomposició de la Lie semisimple àlgebra en simple àlgebres de Lie.

La classificació d'ingressos per considerar un subalgebra de Cartan (maximal abelian Mentida àlgebra; correspon a un bou maximal en un grup de Lie) i la medico adjunt d'acció de la Lie de l'àlgebra en aquest subalgebra. El sistema arrel de l'acció a continuació, tant determina l'original M àlgebra i ha de tenir una molt limitats forma, que poden ser classificades per la diagrames de Dynkin.

La classificació és àmpliament considerat com un dels més elegants resultats en matemàtiques – una breu llista d'axiomes rendiments, a través d'un relativament curt prova, una completa però no trivial classificació amb una sorprenent estructura. Aquest hauria de ser comparat amb la classificació de finit simple grups, que és significativament més complicat.

L'enumeració de les quatre famílies no és redundant i consta només d'un simple àlgebres de si ${\displaystyle }$ per a Un_n, ${\displaystyle }$ per B_n, ${\displaystyle }$ per C_ni ${\displaystyle }$ per a D_n. Si un comença la numeració més baixa, l'enumeració és redundant, i un ha excepcionals isomorphisms entre senzilla àlgebres de Lie, que es reflecteixen en isomorphisms de diagrames de Dynkin; E_n poden estendre's cap a baix, però per sota de E₆ són isomorphic a altres, no excepcional àlgebres.

Més d'un no-algebraically camp tancat, la classificació és més complicat – una classificació simple àlgebres de Lie sobre la clausura algebraica, a continuació, per a cadascun d'aquests, un classifica simple àlgebres de Lie sobre l'original de camp que tinguin aquesta forma (sobre el tancament). Per exemple, classificar simple real àlgebres de Lie, un classifica real àlgebres de Lie amb un determinat complexification, que es coneix com a real formes de la complexitat de la Mentida àlgebra; això es pot fer per Satake diagrames, que són els diagrames de Dynkin amb dades addicionals ("decoracions").

Història

La semisimple àlgebres de Lie sobre el complex números van ser les primeres classificades per Wilhem Killing les teresianes (1888-90), tot i que la seva prova mancat de rigor. La seva prova es va fer rigorosa per Élie Cartan (1894) en el seu Ph D. tesi, que també classificats semisimple real àlgebres de Lie. Aquest va ser posteriorment refinades, i de l'actual classificació de diagrames de Dynkin s'ha donat després de 22 anys d'edat, Eugene Dynkin en 1947. Algunes petites modificacions s'han fet (especialment per J. P. Serre), però la prova no s'ha canviat en els seus elements essencials i es pot trobar a qualsevol estàndard de referència, com ara (Humphreys 1972).

Propietats

Reductibilitat completa

Una conseqüència de semisimplicity és un teorema a causa de Weyl: cada finit-la representació dimensional és completament reductible; allò és per cada invariable subspace de la representació allà és una invariant complementa. Infinit-representacions dimensionals de semisimple àlgebres de Mentida no són en general completament reductible.

Centerless

Des del centre d'una àlgebrade Lei  ${\displaystyle }$ és un abelian ideal, si ${\displaystyle }$ és semisimple, llavors el seu centre és zero. (Nota: des de ${\displaystyle }$ ha no trivial centre, no és semisimple.) En altres paraules, la representació medico adjunt ${\displaystyle }$ és injective. A més a més, es pot afirmar que la dimensió de la Mentida àlgebra ${\displaystyle }$ de derivacions a ${\displaystyle }$ és igual a la dimensió de ${\displaystyle }$. Per tant, ${\displaystyle }$ és Mentida àlgebra isomorphic a ${\displaystyle }$. (Aquest és un cas especial de Whitehead del lema.) Cada ideal, quocient i el producte de Lie semisimple àlgebres de nou semisimple.

Lineal

La representació adjunta és injectiva, i així un Lie semisimple àlgebra és també lineal àlgebra de Lie  sota la representació adjunta. Això pot conduir a una certa ambigüitat, com cada  àlgebra ja és lineal respecte a alguns altres vectors en l'espai (Ado del teorema), encara que no necessàriament a través de la representació adjunta. Però en la pràctica, aquest tipus d'ambigüitat, poques vegades es produeix.

Descomposició de Jordània

Qualsevol endomorphism x d'una finit-dimensional de vectors de l'espai en un algebraically camp tancat pot ser descomposta única en un diagonalizable (o semisimple) i nilpotent part

${\displaystyle }$

de manera que s i n de viatge amb els altres. D'altra banda, cada una de les s i n és un polinomi en x. Això és una conseqüència de la Jordània descomposició.

Si ${\displaystyle }$i , a continuació, la imatge de x  sota el mapa adjunt es descompon com

${\displaystyle }$

Els elements de s i n són els únics elements de ${\displaystyle }$ com que n és nilpotent, s és semisimple, n i s de viatge, i per a que aquesta descomposició té. Aquest resum Jordània descomposició en factors a través de qualsevol representació de la ${\displaystyle }$ en el sentit que qualsevol representació ρ,

${\displaystyle }$

és la Jordània descomposició de ρ(x) en el endomorphism anell de la representació de l'espai.

Classificació

La classificació d'un complex Lie semisimple àlgebra és la dimensió de qualsevol de les seves Cartan subalgebras.

Significat

La importància de semisimplicity tracta en primer lloc de l' Levi descomposició, que estableix que cada finits tridimensional Lie àlgebra és la semidirecte producte d'una solució ideal (la seva radical) i un algebra semisimple. En particular, no hi ha cap zero àlgebra de Lie que és alhora la solució i semisimple.

Semisimple àlgebres de Lie tenen una classificació molt elegant, en contraposició a solució àlgebres de Lie. Semisimple àlgebres de Lie més d'una forma algebraica tancat són completament classificades, pel seu sistema d'arrels, que al seu torn són classificats per diagrames de Dynkin. Semisimple àlgebres més no algebraically tancat camps es pot entendre en termes de les persones de més algebraiques tancament, tot i que la classificació és una mica més complexa; vegeu la veritable forma per al cas dels béns semisimple àlgebres de Lie, que es van classificar per Élie Cartan.

A més, la representació de la teoria de Lie semisimple àlgebres és molt més neta que la que per a les àlgebres de Lie. Per exemple, el Jordània descomposició en un Lie semisimple àlgebra coincideix amb el de Jordània descomposició en la seva representació, aquest no és el cas de les àlgebres de Lie en general.

Si ${\displaystyle }$ és semisimple, llavors ${\displaystyle }$. En particular, cada lineal Lie semisimple àlgebra és una subalgebra de ${\displaystyle }$la especial lineal àlgebra de Lie. L'estudi de l'estructura de ${\displaystyle }$ constitueix una part important de la representació, teoria de Lie semisimple àlgebres.

Generalitzacions

Lie Semisimple àlgebres admetre certes generalitzacions. En primer lloc, moltes de les declaracions que són veritat per a semisimple àlgebres de Lie ī es cert en general per a reductor àlgebres de Lie. Abstracta, un reductor Mentida àlgebra és un el medico adjunt representació és completament reductible, mentre concretament, un reductor Mentida àlgebra és una suma directa de Lie semisimple àlgebra i un abelian àlgebra de Lie ; per exemple, ${\displaystyle }$ és semisimple, i ${\displaystyle }$ és reductiva. Moltes de les propietats de Lie semisimple àlgebres només depenen de reducibility.

Moltes de les propietats dels complexos semisimple/reductor  àlgebres de Lei són veritat, no només per semisimple/reductor àlgebres de Lie sobre algebraically tancat camps, però més en general, per a dividir semisimple/reductor àlgebres de Lie sobre altres camps: semisimple/reductor àlgebres de Lie sobre algebraically tancat camps són sempre partit, però en altres camps, aquest no és sempre el cas. Dividir àlgebres de Lie tenen essencialment la mateixa representació teoria com semsimple àlgebres de Lie sobre algebraically tancat camps, per exemple, la divisió de Cartan subalgebra jugant el mateix paper que el Cartan subalgebra reprodueix sobre algebraically tancat camps. Aquest és l'enfocament seguit en (Bourbaki 2005), per exemple, que classifica les representacions de dividir semisimple/reductor àlgebres de Lie.