Mòdul
Un A-mòdul és una estructura algebraica que involucra un anell A i un grup abelià. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'espai vectorial en la qual el cos d'escalars és substituït per un anell.
A-mòduls per l'esquerra
modificaSigui un anell i un grup abelià. El grup té estructura de -mòdul per l'esquerra si l'anell opera linealment per l'esquerra sobre els elements de , és a dir, si hi ha una operació externa de sobre :
amb les condicions de linealitat
per a i . Si, a més, l'anell té unitat, es demana que
A-mòduls per la dreta
modificaSi l'operació externa és per la dreta,
amb les corresponents condicions de linealitat:
aleshores es tracta d'un -mòdul per la dreta.
A-mòduls bilàters
modificaSi l'anell és commutatiu, aleshores és possible la identificació , perquè les condicions i ja no són contradictòries. Aleshores té estructura de -mòdul bilàter o, simplement, d' -mòdul. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un -mòdul per l'esquerra.
Exemples
modifica- Si és un anell, ell mateix es pot considerar com a -mòdul de manera natural:
- Els grups commutatius són -mòduls. En efecte, si és un grup commutatiu (notació additiva) i , l'operació externa de sobre donada per:
- dota el grup d'una estructura de -mòdul.
- Els espais vectorials sobre un cos són -mòduls.
- Si és l'anell d'endomorfismes d'un -mòdul , l'operació externa
- fa que es pugui considerar un -mòdul.
- Si és un anell i n'és un ideal (per l'esquerra), aleshores el propi , amb l'operació
- és un -mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot i tot , el producte pertany a .