En matemàtiques, una aplicació lineal és un morfisme entre dos espais vectorials que respecta l'operació suma de vectors i la multiplicació escalar definides en aquests espais vectorials, o, en altres paraules que preserven les combinacions lineals.

Definicions modifica

Sigui   una aplicació on   i   són dos  -espais vectorials.

  és una aplicació lineal (o un morfisme de  -espais vectorials) si:

  •  
  •  

Una aplicació que compleixi la primera condició es diu additiva, si, en canvi compleix la segona es diu homogènia.

Propietats modifica

Si   és una aplicació lineal,  , i   es compleix:

  •  
  •  
  •  
  •  
  • Si   també és una aplicació lineal, aleshores: , també és una aplicació lineal.

Nucli i imatge modifica

Sigui  

 
  • S'anomenarà imatge de   al subespai vectorial de  
 

Teorema del rang modifica

 

Teorema d'isomorfisme modifica

 

Matriu associada a una aplicació lineal modifica

Siguin   i   dos espais vectorials de dimensió finita,   i   les seves respectives bases i   una aplicació lineal,   queda definida si es coneixen les coordenades de   en la base de  :

 

  S'anomena matriu associada a l'aplicació lineal   en les bases   i  

 

Aquesta matriu ens permet calcular les coordenades de la imatge d'un vector:

 
 

Les coordenades de   en la base   de   són:

 
 

Composició d'aplicacions lineals modifica

Donades dues aplicacions lineals   i   (on  ,   i   són les bases de  ,   i  ) amb   i   com a matrius associades en aquestes bases. Aleshores la matriu   és la matriu associada a l'aplicació  

Demostració modifica

 
 
 

Canvi de base modifica

Sigui   una aplicació lineal amb la matriu   respecte a les bases   i   de   i   i la matriu   respecte a les bases   i   es pot escriure   com la següent composició

 

on   és la matriu del canvi de base de   a   i   és la matriu del canvi de base de   a  .

L'espai dual modifica

L'espai dual és l'espai de les aplicacions lineals que van de   a  .

 

Les aplicacions lineals a   s'anomenen formes, i a l'espai   se l'anomena espai dual de  , on   és el conjunt de totes les aplicacions lineals de   a  .

  és un espai vectorial de la mateixa dimenió que   (si   té dimensió finita):

 
 

Donada una base de  , les aplicacions:

   
   
   

 

On   és l'aplicació,   és l'element i   és la funció delta de Kronecker.

Les aplicacions   formen una base de   que s'anomena base dual de  .

Observació modifica

Suposem que   i   són bases diferents de   amb algun vector en comú (suposem que  ), aleshores, en les dues bases duals   i  ,   i   no tenen per què ser iguals.

Proposició modifica

Sigui   una base de   i   la seva base dual, les coordenades d'una forma qualsevol   en la base   són  .

   
 
 
 
 

 

 

 

Demostració modifica

Per tot vector   de la base de   tenim:  

 

Aplicacions duals modifica

Fixada una aplicació lineal   i  , al compondre un element   amb  , obtenim un element  :

 


Per tant, existeix una aplicació   que designarem per aplicació dual de  :

 

i té les següents propietats:

  • Lineal:
 
 
  •  :
 

Relació entre matrius modifica

  •   té per matriu associada   en les bases   i   de   i   respectivament.
  •   tindrà una matriu associada   en les dues bases duals   i   de   i   respectivament.

Proposició modifica

La matriu de l'aplicació dual   en les bases duals és la matriu transposada de  .

 

Demostració modifica

   

Vegeu també modifica

Bibliografia modifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Aplicació lineal