Obre el menú principal

Dimensió de Hausdorff-Besicovich

invariant matemàtica
(S'ha redirigit des de: Dimensió de Hausdorff)

La dimensió de Hausdorff o dimensió de Hausdorff-Besicovich és una generalització mètrica del concepte de dimensió d'un espai topològic, que permet definir la dimensió d'una dimensió fraccionaria (no-entera) per a un objecte fractal.

Mesura de HausdorffModifica

 
Contingut de Hausdorff d'un conjunt, per a valors de la dimensió diferent inferiors a la dimensió d'Haussdorff el contingut d'Hausdorff és infinit, per a valors superiors el contingut és zero. Sols per a un valor igual a la dimensió d'Hausdorff el contingut és una quantitat positiva i finita.

Sia   no buit. El diàmetre de   es definix com a  .

Sia   un conjunt arbitrari d'índexs. La col·lecció   s'anomena  -recobriment de   si

  •  ; i
  •  , per a cada  .


Sia   i   un nombre no negatiu. Per a qualsevol   es definix:

 ,

en on l'ínfim es pren respecte a tots els  -recobriments numerables de  . És possible verificar que   és de fet una mesura exterior a  .

La mesura exterior  -dimensional d'Hausdorff del conjunt   es definix com el valor

 .

Aquest límit existix. Però com que   creix quan   decreix, pot ser infinit.

És fàcil veure que   és una mesura exterior, així és que, per al Teorema de Carathéodory, la restricció de   als conjunts  -mesurables. És de fet una mesura, anomenada mesura s-dimensional d'Hausdorff.

La mesura d'Hausdorff generalitza la idea de longitud, àrea i volum. La mesura de dimensió zero compta el nombre de punts en un conjunt si el conjunt és finit, o és infinita si el conjunt ho és. La mesura unidimensional amida la longitud d'una corba suau a  . La mesura bidimensional d'un conjunt a   és proporcional a la seva àrea i anàlogament la mesura tridimensional d'un conjunt a   és proporcional al seu volum.

Per a tot conjunt   existix   amb la propietat:  

Un gràfic de   en funció de   (Vegeu figura) mostra que existix un valor crític de   en el qual   canvia subitàment de   a  .

El comportament de   pot explicar-se de la següent manera: Es cobrix el conjunt   amb infinits conjunts de diàmetre menut   i es calcula la suma d'aquests diàmetres elevats a la  -èsima potència. Si   és menut, aquestes potències tendixen a   la qual cosa produïx que la suma divergisca. Si   és gran, les  -èsimes potències tenen a zero i la suma tendix a anul·lar-se.

Dimensió d'HausdorffModifica

La dimensió d'Hausdorff es definix com a:

 

ReferènciesModifica

  • Falconer K. "The Geometry of Fractal Sets" (Cambridge University Press 1985)
  • Falconer K. "Fractal Geometry: mathematical foundations and applications" (2ed., Wiley 2003)
  • Helmberg G. "Getting Acquainted with Fractals"