Obre el menú principal
El·lipse
El·lipse

Una el·lipse[1] és el lloc geomètric dels punts del pla per als quals és constant la suma de les distàncies a dos punts interiors fixos denominats focus, que regeixen l'excentricitat de l'el·lipse:

L'equació d'una el·lipse centrada en el punt (0,0) és:

on a és la semidistància de l'eix d'abscisses de l'el·lipse, mentre que b és la semidistància sobre l'eix d'ordenades.

L'àrea d'aquesta el·lipse és:

Si a=b, l'el·lipse és un cercle, i llavors la seva àrea és simplement π·a2.

L'excentricitat de l'el·lipse (e) s'obté:[1]

on

L'el·lipse és la corba cònica tancada que s'obté en la intersecció d'una superfície cònica amb un pla oblic a l'eix del con quan aquest pla no és paral·lel a cap generatriu del con.[1]

Definició com a lloc de puntsModifica

 
El·lipse: Definició per suma de distàncies entre punts

Una el·lipse es pot definir geomètricament com un conjunt o lloc de punts en el pla euclidià:

  • Donats dos punts fixos   anomenats focs i una distància  que és més gran que la distància entre els focs, l’el·lipse és el conjunt de punts  de manera que la suma de les distàncies   es igual a  : 
 
El·lipse: definició per focus i directriu circular

El punt mig   del segment de línia que uneix els focs s’anomena centre de l’el·lipse. La línia a través dels focs s’anomena eix major, i la línia perpendicular a aquesta a través del centre és l’eix menor. L’eix major intersecciona l’el·lipse als punts del vèrtex  , que tenen la distància  al centre. La distància   dels focs al centre s’anomena distància focal o excentricitat lineal. El quocient   es la ecsentricitat.

El cas   produeix un cercle i s'inclou com un tipus especial d'el·lipse.

L’equació   es pot visualitzar d'una altra manera (vegeu la figura):

Si  és el cercle amb el migpunt  i el radi  , desprès la distància d'un punt   a el cercle  és igual a la distància amb el focus  :  

El  s'anomena directriu circular (relacionada amb l'enfocament  ) de l'el·lipse.[2][3] Aquesta propietat no s'ha de confondre amb la definició d'una el·lipse mitjançant una línia de directriu següent.

Utilitzant esferes de Dandelina, es pot demostrar que qualsevol secció plana d’un con amb un pla és una el·lipse, suposant que el pla no conté l’àpex i té una inclinació inferior a la de les línies del con.

Mireu tambéModifica

ReferènciesModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: El·lipse  
  1. 1,0 1,1 1,2 «el·lipse». L'Enciclopèdia.cat. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
  2. Apostol, Tom M. & Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), New Horizons in Geometry, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America, p. 251, ISBN 978-0-88385-354-2
  3. The German term for this circle is Leitkreis which can be translated as "Director circle", but that term has a different meaning in the English literature (see Director circle).

BibliografiaModifica

  • Besant, W.H.. «Chapter III. The Ellipse». A: Conic Sections. London: George Bell and Sons, 1907, p. 50. 
  • Coxeter, H.S.M.. Introduction to Geometry. 2nd. New York: Wiley, 1969, p. 115–9. 
  • Meserve, Bruce E. (1983), Fundamental Concepts of Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-63415-9
  • Miller, Charles D.. Fundamentals of College Algebra. 3rd. Scott Foresman/Little, 1990, p. 381. ISBN 978-0-673-38638-0.