Equació de Liénard

En matemàtiques, més concretament en l'estudi de sistemes dinàmics i equacions diferencials, una equació de Liénard[1] és una equació diferencial de segon ordre, que duu el nom del físic francès Alfred-Marie Liénard.

Durant el desenvolupament de la ràdio i la tecnologia de les vàlvules de buit, s'utilitzaven molt les equacions de Liénard ja que es poden usar per modelar circuits oscil·latoris. Sota certes suposicions addicionals el teorema de Liénard garanteix la unicitat i existència d'un cicle límit per a tal sistema.

DefinicióModifica

Siguin f i g dues funcions contínuament diferenciables en R, sigui g una funció imparella i f un funció parella. Llavors l'equació diferencial ordinària de segon ordre de la forma

 

s'anomena equació de Liénard.

Sistema de LiénardModifica

L'equació pot ser transformada en el sistema d'equacions diferencials ordinàries bidimensional equivalent. Es defineix

 
 
 

Llavors

 

s'anomena sistema de Liénard.

Alternativament, com que l'equació de Liénard és en si mateixa una equació diferencial autònoma, la substitució   fa que l'equació de Liénard esdevingui una equació diferencial ordinària de primer ordre:

 

que pertany a l'equació d'Abel de segona classe.[2][3]

ExempleModifica

L'oscil·lador de Van der Pol

 

és una equació de Liénard. La solució d'un oscil·lador de Van der Pol té un cicle límit. Tal cicle té una solució de l'equació de Liénard amb  negatiu per   petit i   positiu altrament. L'equació de Van der Pol no té cap solució analítica exacta. Tal solució per al cicle límit existeix si   és una funció constant definida a trossos.[4]

Teorema de LiénardModifica

Un sistema de Liénard té un cicle límit únic i estable que envolta l'origen si satisfà les propietats addicionals següents:[5]

  • g(x) > 0 per tot x > 0;
  •  
  • F(x) té exactament una arrel positiva per algun valor p, on F(x) < 0 per 0 < x < p i F(x) > 0 i és monotònica per x > p.

ReferènciesModifica

  1. Liénard, A. (1928) "Etude des oscillations entretenues," Revue générale de l'électricité 23, pp. 901–912 and 946–954.
  2. Liénard equation at eqworld.
  3. Abel equation of the second kind at eqworld.
  4. Pilipenko A. M., and Biryukov V. N. «Investigation of Modern Numerical Analysis Methods of Self-Oscillatory Circuits Efficiency», Journal of Radio Electronics, No 9, (2013). http://jre.cplire.ru/jre/aug13/9/text-engl.html
  5. For a proof, see Perko, Lawrence. Differential Equations and Dynamical Systems. Third. Nova York: Springer, 1991, p. 254–257. ISBN 0-387-97443-1. 

Enllaços externsModifica