Equació de vuitè grau

En matemàtiques, una equació de vuitè grau és l'equació de la forma

Gràfica d'un polinomi de grau 8, amb 7 punts crítics

Una funció de vuitè grau és una funció de la forma

on .

Els coeficients a, b, c, d, e, f, g, h, k poden ser tant nombres enters, nombres racionals, nombres reals, nombres complexos o, més generalment, els membres de qualsevol conjunt.

Atès que una funcióde vuitè grau es defineix per un polinomi amb un grau parell, té el mateix límit infinit quan l'argument passa a l'infinit positiu o negatiu. Si el coeficient principal a és positiu, llavors la funció augmenta a en tots dos costats; I així, la funció té un mínim global. De la mateixa manera, si a és negatiu, la funció de vuitè grau disminueix fins a i té un màxim global.

La derivada d'una funció de vuitè grau és una funció de setè grau.

SolucionsModifica

Segons el teorema d'Abel-Ruffini, no hi ha una fórmula algebraica general per a una solució d'una equació de vuitè grau en termes dels seus paràmetres. No obstant això, algunes subclasses d'equacions de vuitè grau tenen tals fórmules.

Trivialment, equacions de vuitè grau de la forma

 

amb a positiva,tenen les solucions:

 

on   és la k-èsima arrel vuitena en 1 en el pla complex.

Equacions de vuitè grau de la forma

 

es poden resoldre mitjançant factorització o aplicació de la fórmula quadràtica en la variable x4.

Equacions de vuitè grau de la forma

 

es poden resoldre aplicant de la fórmula quadràtica en la variable x2.

AplicacionsModifica

En alguns casos, algunes de les quadriseccions (particions en quatre regions d'igual àrea) d'un triangle mitjançant línies perpendiculars són solucions d'una equació de vuitè grau.[1]

ReferènciesModifica

  1. Eberhart, Carl. «Revisiting the quadrisection problem of Jacob Bernoulli» ( PDF). Forum Geometricorum p. 7–16, 2018.

Vegeu tambéModifica