Equacions de Friedmann

Les equacions de Friedmann són un conjunt d'equacions en cosmologia física que governen l'expansió mètrica de l'espai en models homogenis i isòtrops de l'Univers dins del context de la teoria de la relativitat general. Van ser descobertes per Alexander Friedmann el 1922[1] a partir de les equacions de camp d'Einstein per a la mètrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker i un fluid amb una densitat d'energia () i una pressió () i una pressió (pàg.) determinada.

Contingut

Les equacionsModifica

Les equacions són:

 
 
  •   és la constant cosmològica possiblement causada per l'energia del buit
  •   és la constant de gravitació
  •   és la velocitat de la llum
  •   és el factor d'escala de l'Univers
  •   és la curvatura gaussiana quan   (per exemple, avui).

Si la forma de l'univers és hiperesfèrica i   és el radi de curvatura (  en el moment actual), llavors  . Generalment,   és la curvatura gaussiana. Si   és positiva, llavors l'Univers és hiperesfèric. Si   és zero, l'Univers és pla i si   és negatiu l'Univers és hiperbòlic. A més,   i   són funció de  . El paràmetre de Hubble,  , és la velocitat d'expansió de l'univers.

Aquestes equacions de vegades se simplifiquen redefinint la densitat d'energia i la pressió:

 

 

per a obtenir:

 
 

El paràmetre de Hubble pot canviar en el temps si altres elements de l'equació són dependents del temps, en particular la densitat d'energia, l'energia del buit i la curvatura. Avaluant el paràmetre de Hubble en el moment actual surt que la constant de Hubble és la constant de proporcionalitat de la llei de Hubble. Si s'aplica a un fluid amb una equació d'estat determinada, les equacions de Friedmann donen com a resultat l'evolució en el temps i la geometria de l'Univers com a funció de la densitat del fluid.

Alguns cosmòlegs anomenen la segona d'aquestes dues equacions l'equació d'acceleració i es reserven el terme equació de Friedmann només per a la primera equació.

El paràmetre de densitatModifica

El paràmetre de densitat,  , es defineix com la relació de la densitat actual, o observada,   respecte a la densitat crítica   de l'Univers de Friedmann. Una expressió per a la densitat crítica es troba assumint que   és zero, com ho és per a tots els universos de Friedmann bàsics, i establint la curvatura   igual a zero. Quan se substitueixen aquests paràmetres a la primera equació de Friedmann trobem que:

 

I l'expressió per al paràmetre de densitat, útil per a comparar diferents models cosmològics, és:

 

Aquest terme originalment va ser utilitzat com una manera de determinar la geometria del camp en el qual   és la densitat crítica per a la qual la geometria és plana. Assumint una densitat d'energia del buit nul·la, si   és més gran que un, la geometria és tancada i l'Univers eventualment pararà la seva expansió i llavors es col·lapsarà. Si   és menor que u, serà obert i l'Univers s'expandirà per sempre. Tanmateix, també es poden sintetitzar els termes de curvatura i de l'energia del buit en una expressió més general per a en el cas que aquest paràmetre de densitat d'energia sigui exactemente igual a la unitat. Llavors és una qüestió de mesurar els diferents components, normalment designats per subíndexs. D'acord amb el model Lambda-CDM, hi ha importants components de   a causa de barions, matèria fosca freda i energia fosca. La geometria de l'espai-temps va ser mesurada pel satèl·lit WMAP estant a prop de ser una geometria plana, és a dir, el paràmetre de curvatura   és aproximadament zero.

La primera Equació de Friedmann sovint s'escriu formalment amb els paràmetres de densitat.

 
  •   és la densitat de radiació actual;
  •   és la densitat de matèria actual (la fosca més la bariònica);
  •   és la constant cosmològica o la densitat de buit actual.

Els valors acceptats en l'actualitat per a aquests paràmetres són de 0,002 per a la densitat de radiació, 0,29±0,03 per a la densitat de matèria fosca i bariònica en l'actualitat, i de 0,71±0,03 per la densitat de l'energía del buit.

Equació de Friedmann reescaladaModifica

Establint que   on a_0 i H_0 són separadament el factor d'escala i el paràmetre de Hubble actuals. Llavors podem trobar que:

 

on  . Per a qualsevol forma del potencial efectiu  , hi ha una equació d'estat   que la produirà.

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. Friedmann, A: "Über die Krümmung des Raumes", Z. Phys. 10 (1922), 377-386. (Traducció a l'anglès a Gen. Rel. Grav. 31 (1999), 1991-2000.)