Connexitat per arcs

(S'ha redirigit des de: Espai connex per camins)

En topologia, es diu que un espai (o un subespai) és connex per arcs o arc-connex (o també connex per camins) si compleix una propietat que, intuïtivament, pot entendre's com la possibilitat de formar un camí entre dos punts qualssevol de l'espai o subespai. Cadascun dels subespais arc-connexs no continguts en un subespai arc-connex major s'anomena component arc-connexa de l'espai.

Definició formal

modifica

Direm que un conjunt   és connex per camins o arc-connex si donats   hi ha un camí continu   tal que   i  .

Propietats

modifica
 
Pinta del topòleg

La connexitat per camins implica connexitat, però el recíproc no és cert en general. Un contraexemple molt típic és l'anomenat pinta del topòleg,  , on   i  .   és connex, però no connex per camins.

Ser connex per camins no és una propietat hereditària (és a dir, si un conjunt és connex per camins, qualsevol subconjunt d'aquest no és necessàriament connex per camins). Però, ser connex per camins és una propietat topològica (és a dir, la imatge mitjançant una aplicació contínua d'un conjunt connex per camins és connexa per camins).