Tensor d'inèrcia: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Pàgina nova, amb el contingut: «El tensor d'inèrcia és un tensor simètric d'ordre 2 que caracteritza l'inèrcia rotacional d'un sòlid rígid. Expressat en una base de l'espai, pr...». |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
El tensor d'inèrcia és un [[tensor]] simètric d'ordre 2 que caracteritza l'inèrcia rotacional d'un [[sòlid rígid]]. Expressat en una base de l'espai, pren la forma d'una matriu simètrica, on els elements de la diagonal
== Definició ==
Línia 11:
{{equació|<math>\mathbb I_A = \int_V \mathrm d^3 \mathbf x \; \rho(\mathbf x) (\mathbf x^2 \mathbf I - \mathbf x \otimes \mathbf x) </math>}}
On en aquest cas <math>\mathbf I</math> és la [[matriu identitat]] 3x3, i el símbol <math>\otimes</math> representa el [[producte tensorial]] de dos vectors.
== Motivació ==
La definició anterior pot semblar complicada i arbitrària, però veurem el paper fonamental que juga en la mecànica del sòlid rígid.
=== Moment angular ===
Suposem que un sòlid rígid gira amb [[velocitat angular]] <math>\boldsymbol \omega </math>, i volem calcular el seu [[moment angular]] respecte el punt <math>A</math>. Llavors, es compleix que:
{{equació|<math> \mathbf L_A = \mathbb I_A \boldsymbol \omega </math>}}
És important notar que en general el moment angular no és paral·lel a la velocitat angular, ja que el tensor d'inèrcia és, en general, una matriu complicada.
=== Energia cinètica ===
Fem les mateixes suposicions que abans, i obtenim que l'energia cinètica del sòlid respecte el punt <math>A</math> és:
{{equació|<math> T_A = \frac{1}{2} \boldsymbol \omega \cdot (\mathbb I_A \boldsymbol \omega) </math>}}
| |||