Espai de Banach: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m r2.7.3) (Robot modifica: de:Banachraum |
mCap resum de modificació |
||
Línia 7:
Quan en un espai vectorial tenim definida una norma, parlem d'[[espai vectorial normat]].
Sigui ''E'' un espai normat, prenem la definició usual de [[límit (matemàtiques)|límit]] amb la [[mètrica (matemàtiques)|mètrica]] habitual d('''x''','''y''') = ||'''x'''-'''y'''||. Diem que <math>\lim_{n\to \infty} \mathbf{x}_n=\mathbf x</math> quan ||'''x'''<sub>''n''</sub>-'''x'''|| → 0 per a ''n''→∞. Ara només cal afegir la noció de [[completesa]]. Direm que aquest espai normat ''E'' és complet quan tota [[Successió (matemàtiques)|successió]] {'''x'''<sub>n</sub>} d'elements d<nowiki>'</nowiki>''E'' que és [[successió de Cauchy]] té un límit en ''E''. Les successions de Cauchy són aquelles en què els termes de la successió són cada vegada més propers conforme es van agafant de manera successiva. De manera resumida, són aquelles en què ||'''x'''<sub>''n''+1</sub> − '''x'''<sub>''n''</sub>|| → 0 per a ''n''→∞.
Així doncs, un '''espai de Banach''' és un [[espai vectorial]] ''E'' sobre el [[cos (matemàtiques)|cos]] dels nombres reals o el dels complexos amb una norma ||·|| tal que tota [[successió de Cauchy]] (respecte la mètrica d('''x''','''y''')=||'''x'''-'''y'''||) en ''E'' és convergent (té un límit).
| |||