Polinomi característic: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot elimina entitats HTML |
|||
Línia 9:
El polinomi té aquesta forma ja que els elements de la diagonal d'una matriu diagonal coincideixen amb els seus valors propis.
Per a una matriu ''A'' genèrica, es pot procedir de la següent forma: Si
:<math>A v = \lambda v \,\!</math>
Línia 17:
:<math>(A - \lambda I)v = 0 \,\!</math>
on '''''I''''' és la [[matriu identitat]]. Com que ''v'' és no nul, la matriu
==Definició formal==
Línia 25:
:<math>p_A(t)=\det(A-tI)\,\!</math>
on '''''I''''' denota la [[matriu identitat]] ''n''
Alguns autors defineixen el polinomi característic com det(''t'''I''''' − ''A''). La diferència és intranscendent ja que els dos polinomis únicament es diferencien en el seu signe.
Línia 48:
==Propietats==
El polinomi ''p''<sub>''A''</sub> és [[Polinomi mònic|mònic]] (el seu coeficient líder és 1) i de grau ''n''. El fet més important sobre el polinomi característic ja fou anomenat en el paràgraf de motivació: els valors propis de ''A'' són precisament les [[Arrel d'una funció|arrels]] de ''p''<sub>''A''</sub>. El terme independent ''p''<sub>''A''</sub>(0) és igual a (−1)<sup>''n''</sup>det(''A''), i el coeficient del terme de grau ''n'' − 1 és igual a
Tots els polinomis [[nombres reals|reals]] de grau senar tenen almenys un nombre real com a arrel, de manera que per a tot ''n'' senar, tota matriu real té almenys un valor propi real. La majoria dels polinomis reals de grau parell no tenen arrels reals, però el [[teorema fonamental de l'àlgebra]] diu que tot polinomi de grau ''n'' té ''n'' arrels [[nombre complex|complexes]], comptades amb les seves [[Multiplicitat|multiplicitats]]. Les arrels no reals de polinomis reals, per tant valors propis no reals, apareixen en parelles [[Conjugat|conjugades]].
| |||