Mòdul lliure: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Pàgina nova, amb el contingut: «== Definició == Siguin <math>A</math> un anell conmutatiu amb unitat i <math>S</math> un conjunt. L'<math>A</math>'''[[mòdul...». |
Cap resum de modificació |
||
Línia 132:
i, com que això s'esdevé per qualsevol índex <math>s_{0} \in S \,</math>, resulta que <math>a_{s} = 0 \,, \forall s \in S</math> i la independència lineal queda demostrada. Aleshores, <math>i(S) \,</math> és una [[base]] del mòdul lliure <math>F_{S}</math>.
Inversament, tot <math>A</math>-mòdul <math>M \,</math> provist d'una base <math>\mathcal{B} \,</math>, és a dir, d'un conjunt de generadors lliure, és un mòdul lliure sobre aquest conjunt de generadors. En efecte, primer definim l'aplicació
{| style="width:100%" border="0" cellpadding="2"
|-
|align="center"|
<math>
i: \mathcal{B} \longrightarrow M
</math>
|-
|align="center"|
<math>
i(b) = b
</math>
|-
|}
i ara, si <math>N \,</math> és un altre <math>A</math>-mòdul i <math>f: \mathcal{B} \longrightarrow N \,</math> és una aplicació qualsevol de <math>\mathcal{B}</math> a <math>N</math>, l'aplicació
{| style="width:100%" border="0" cellpadding="2"
|-
|align="center"|
<math>
\tilde{f}: M \longrightarrow M
</math>
|-
|align="center"|
<math>
\tilde{f}(\varphi) = \tilde{f}\left(\sum_{b \in \mathcal{B}} a_{b} b \right) = \sum_{b \in \mathcal{B}} a_{b} f(b)
</math>
|-
|}
és, trivialment, un homomorfisme de <math>M \,</math> a <math>N \,</math> i el següent diagrama
{| style="width:100%" border="0" cellpadding="2"
|-
|align="center"|[[Imatge:Free_module_basis.png]]
|-
|}
és conmutatiu.
En particular, si l'anell <math>A</math> és un [[cos]], aleshores <math>M</math> és un [[espai vectorial]] sobre <math>A</math> i, com a tal, té almenys una base. En conseqüència, tots els espais vectorials són lliures sobre cadascuna de les seves bases.
== Existència ==
| |||