Revisió del 22:30, 19 maig 2007 modifica Brill (discussió \| contribucions) 667 edits Cap resum de modificació ← Edició anterior		Revisió del 23:40, 19 maig 2007 modifica desfés Brill (discussió \| contribucions) 667 edits Cap resum de modificació Edició següent →
Línia 1: Si a l'[[estructura algebraica\|estructura]] d'[[espai vectorial]] hom substitueix el [[cos]] d'escalars per un [[anell]], l'estructura obtinguda és la de [[mòdul]]. Naturalment, moltes de les propietats es perden en aquest canvi i l'estructura de '''mòdul lliure''' és la que més s'acosta a la d'espai vectorial. Resulta significatiu que, per definir-la, només calgui reproduir el fet que qualsevol [[homomorfisme]] d'espais vectorials queda determinat quan se'n coneixen les imatges dels elements d'una [[base]]. Posem això en una notació adequada: si <math>M\, </math> i <math>N \,</math> són espais vectorials i <math>\mathcal{B}</math> és una base de <math>M</math>, una aplicació <math>j: \mathcal{B} \longrightarrow N \,</math> informa quant a quina és la imatge de cada element de la base <math>\mathcal{B}</math> de <math>M</math> i ''només d'això''. Però aleshores, ha quedat perfectament determinat un homomorfisme <math>f: M \longrightarrow N \,</math> de manera que si <math>i: \mathcal{B} \longrightarrow M \,</math> és la injecció natural, el següent diagrama {\| style="width:100%" border="0" cellpadding="2" \|- \|align="center"\|[[Imatge:Free vector space.png]] \|- \|} és conmutatiu. La definició del <math>A</math>-'''[[mòdul]] lliure sobre el conjunt de generadors''' explota aquest fet exhaustivament. == Definició == Siguin <math>A</math> un [[anell_(matemàtiques)\|anell]] conmutatiu amb [[unitat]] i <math>S</math> un [[conjunt]]. L'El <math>A</math>-'''[[mòdul]] lliure sobre el conjunt de generadors''' <math>S</math>, denotat <math>F_{S}</math>, és l'únic <math>A</math>-mòdul provist d'una aplicació <math>i: S \longrightarrow F_{S}</math> que compleix que, per qualsevol altre <math>A</math>-mòdul <math>M</math> i qualsevol aplicació <math>f: S \longrightarrow M</math>, hi ha un únic [[homomorfisme]] de mòduls, <math>\tilde{f}: F_{S} \longrightarrow M</math> que fa que el següent diagrama {\| style="width:100%" border="0" cellpadding="2"

Mòdul lliure: diferència entre les revisions