Element (matemàtiques): diferència entre les revisions

En [[teoria de conjunts]], un '''element''' o '''membre''' d'un [[conjunt]] (o [[família de conjunts]]) és un [[Individu | objecte atòmic ]] que forma part d'aquest conjunt (o família).

 

 

== Teoria de conjunts i elements ==

 

 

 

 

Els elements d'un conjunt poden ser qualsevol cosa. Per exemple, <math> C = \{\mbox {vermell, verd, blau} \} </math>, és el conjunt els elements són els colors vermell, verd i blau.

 

== Notació ==

 

: <math> X \in A </math>

 

estem dient que <math> x </ math> és un element de <math> A </math>. Equivalentment, podem dir o escriure "<math> x </math> és un membre de <math> A </math>", "<math> x </math> pertany a <math> A </math>", "<math> x </math> és a <math> A </math>", "<math> x </math> resideix en <math> A </math>", "<math> A </math> inclou <math> x </math> ", o" <math> A </math> conté <math> x </math> ". La [[Conectiva lògica | negació]] d'aquest símbol es denota <math>\notin </math>.

 

Desafortunadament, els termes "<math> A </ math> inclou <math> x </math>" i "<math> A </math> conté <math> x </math>" són ambigus, perquè alguns autors també els fan servir per referir-se a que "<math> x </math> és un [[subconjunt]] de <math> A </math>". <ref name="schech"> {{cita llibre | autor = [[ Eric Schechter]] | títol = Handbook of Analysis and Its Foundations | editorial = [[Academic Press]] | any = 1997 | | isbn = 0-12-622760-8}} p. 12 </ref> El lògic [[George Boolos]] és emfàtic en aclarir que la paraula "conté" s'ha d'usar només per pertinença d'elements, i "inclou" només per relacions de subconjunts <ref name=boolos"> {{cita llibre | títol = 24.243 Classical setembre Theory (lecture). | nom = [[George Boolos]] | Enlaceautor = | Data = 4 febrer 1992 | Ubicació = [[Institut Tecnològic de Massachusetts]], Cambridge, MA}}. </ref>

 

== Cardinalidad de conjunts ==

El nombre d'elements en un conjunt particular és una propietat coneguda com [[nombre cardinal | cardinalitat]], que informalment es coneix com la mida d'un conjunt. Per als exemples anteriors, la cardinalitat del conjunt <math> A </math> és 4, mentre que la de <math> B </math> i <math> C </math> és 3. Un [[conjunt finit]] és aquell amb un nombre finit d'elements, mentre que un [[conjunt infinit | infinit]], un amb una quantitat infinita d'elements. Els exemples de dalt són tots de conjunts finits. Un exemple de conjunt infinit és el conjunt dels [[nombre natural | nombres naturals]], <math> \mathbb {N} = \{1, 2, 3, 4 \ldots \} </math>.

 

 

== Exemples ==

Usant els conjunts definits a dalt:

 

: <math> B = \{1, 2, \{3, 4 \} \}\, </math>

 

podem dir que:

 

* 2 ∈ B

* {3,4} ∈ B

* 3 ∈ {3,4}

* [[Conjunt buit | ∅]] ⊂ B

* {} ⊂ B

* {2} ⊂ B

* {1,2} ⊂ B

*'' Groc'' ∉ B

* 8 ∉ B

*'' Card'' (B) = 3

*'' Card'' ({3,4}) = 2

* La cardinalitat d''' D'' = {2, 4, 6, 8, 10, 12} és finita i igual a 6.

* La cardinalitat d''' P'' = {2, 3, 5, 7, 11, 13 ... } (Els [[nombre primer | nombres primers]]) és infinita.

 

== Referències==

{{Referències}}

 

* [[Paul R. Halmos]] 1960,'' Naive setembre Theory'', Springer-Verlag, NY, ISBN 0-387-90092-6. "Naive" significa que no està completament axiomatizado, que no és ximple ni fàcil.

* [[Patrick Suppes]] 1960, 1972,'' Axiomatic setembre Theory'', Dover Publications, Inc NY, ISBN 0-486-61630-4. La noció de conjunt (una col · lecció d'elements), membres o elements, els axiomes d'extensió, separació i d'unió o suma són necessaris per a un major enteniment d'aquest concepte.

 

[[Categoria: Teoria de conjunts]]