Teorema d'incompletesa de Gödel: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m →Esbós de demostració per al primer teorema: Afegeixo enllaç per "paradoxa del barber" |
→Referències: Afegeixo secció "Història" |
||
Línia 115:
Però aquesta última declaració és equivalent a <math>p</math> mateix (i aquesta equivalència es pot demostrar en el sistema), de forma que <math>p</math> es pot demostrar en el sistema. Aquesta contradicció posa de manifest que el sistema ha de ser inconsistent.
== Història ==
Després que Gödel va publicar la seva demostració del [[Teorema de completesa de Gödel|teorema de completesa]] en la seva tesi doctoral el 1929, va canviar els seus esforços cap a un segon problema, a fi d'aconseguir la seva habilitació. El seu objectiu inicial era obtenir una solució afirmativa pel [[segon Problema de Hilbert]].<ref>{{ref-llibre|cognom=jr|nom=John W. Dawson|títol=Logical dilemmas : the life and work of Kurt Gödel|pàgines=63|lloc=Wellesley, Mass.|editorial=A.K. Peters|any=2005|isbn=1568812566|edició=[Nachdr.]}}</ref> En aquella època, les teories dels nombres naturals i reals semblants a una aritmètica de [[Lògica de segon ordre|segon ordre]] eren conegudes com a "anàlisi", mentre que les teories que només tractaven els nombres naturals eren conegudes com a "aritmètica".
Gödel no era la primera persona que treballava en el problema de consistència. [[Wilhelm Ackermann]] ja va publicar una demostració (errònia) de la consistència de l'anàlisi en 1925, en la qual intentava emprar el mètode d'[[ε-substitució]], desenvolupat originàriament per Hilbert. Aquell mateix any, [[John von Neumann]] va aconseguir corregir la demostració per a una teoria de l'aritmètica sense axiomes d'inducció. El 1928, Ackermann comunicà a Bernays una demostració modificada; aquesta nova versió va portar Hilbert a anunciar que creia que el 1929 s'hauria demostrat la consistència de l'aritmètica, i que li seguiria una demostració de la consistència de l'anàlisi. Després que la publicació dels teoremes d'incompletesa van mostrar que la demostració modificada d'Ackermann havia de ser errònia, von Neumann va crear un exemple concret que mostrava que la seva tècnica principal no era robusta.<ref>Richard Zach, 2006, [http://www.ucalgary.ca/~rzach/static/hptn.pdf "Hilbert's program then and now"], in ''Philosophy of Logic'', Dale Jacquette (ed.), Handbook of the Philosophy of Science, v. 5., Elsevier, pp. 411–447.</ref><ref>{{ref-publicació|cognom=Zach|nom=Richard|títol=The Practice of Finitism: Epsilon Calculus and Consistency Proofs in Hilbert's Program|publicació=Synthese|data=1 novembre 2003|pàgines=211–259|volum=137|exemplar=1/2|doi=10.1023/A:1026247421383|issn=0039-7857}}</ref>
En el decurs de la seva recerca, Gödel va descobrir que, encara que un enunciat que afirma la seva falsedat porta a una contradicció, un enunciat que afirma la seva pròpia indemostrabilitat no ho fa. En particular, Gödel era conscient del resultat actualment conegut com a [[teorema d'indefinibilitat de Tarski]], encara que mai no el va publicar. Gödel anuncià el seu primer teorema d'incompletesa a Carnap, Feigel i Waismann el 26 d'agost de 1930. Tots quatre van assistir a una conferència a Königsberg la setmana següent.
=== Publicació ===
La conferència de [[Königsberg]] de 1930 va ser una trobada de tres societats acadèmiques, a la qual van assistir molts dels lògics capdavanters de l'època. Carnap, Heyting i von Neumann van dissertar sobre la filosofia matemàtica de la lògica, l'intuïcionisme i el formalisme, respectivament.<ref name="dawson76" /> La conferència també incloïa una intervenció de Hilbert, en la que anunciava la seva retirada a la Universitat de Göttingen. Hilbert va incloure en el seu discurs la seva creença de què qualsevol problema matemàtic pot ser resolt. Va finalitzar el seu discurs dient:
{{citació
|''For the mathematician there is no "Ignorabimus", and, in my opinion, not at all for natural science either. ... The true reason why [no one] has succeeded in finding an unsolvable problem is, in my opinion, that there is no unsolvable problem. In contrast to the foolish "Ignorabimus", our credo avers: We must know. We shall know!''
|col2=''Per a un matemàtic no existeix un "Ignorabimus", i, en la meva opinió, tampoc per a un expert de ciència natural. ... La vertadera raó per la qual [ningú no] ha tingut èxit a l'hora de trobar un problema irresoluble és, en la meva opinió, que no existeix cap problema irresoluble. En contrast amb l'insensat "Ignorabimus", el nostre credo afirma: Hem de saber. Sabrem!''
|David Hilbert, 8 de setembre de 1930, conferència a la Societat de científics i físics alemanys, Königsberg ([http://math.sfsu.edu/smith/Documents/HilbertRadio/HilbertRadio.mp3 àudio en alemany])
|llengua1={{en}}
|llengua2={{ca}}
}}
Ràpidament, aquest discurs esdevingué un resum del pensament de Hilbert sobre les matemàtiques (les seves sis paraules finals, "''Wir müssen wissen. Wir werden wissen!''", foren usades com a epitafi de Hilbert el 1943). Encara que es creu que Gödel assistí al discurs de Hilbert, mai no es van trobar cara a cara.<ref name="dawson76" />
Gödel va anunciar el seu primer teorema d'incompletesa en una discussió durant una taula rodona en el tercer dia de la conferència. L'anunci va tenir poca repercussió, tret de von Neumann, que va portar Gödel a part per xerrar en privat. Aquell mateix any, i amb independència de Gödel, von Neumann va obtenir una demostració del segon teorema d'incompletesa, cosa que va comunicar a Gödel en una carta datada el 20 de novembre de 1930.<ref name="dawson76" /> Gödel va demostrar independentment el segon teorema d'incompletesa i el va remetre manuscrit al ''Monatshefte für Mathematik'' el 17 de novembre de 1930.
L'article de Gödel fou publicat en el ''Monatshefte'' el 1931 amb el títol ''Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I'' (en alemany, «Sobre proposicions formalment indecidibles en els ''Principia Mathematica'' i sistemes relacionats I»). Com suggereix el títol, Gödel va planejar originalment la publicació d'una segona part de l'article, però mai no el va arribar a escriure.
=== Generalització i acceptació ===
Gödel va oferir una sèrie de conferències sobre els seus teoremes a Princeton en 1933-1934 a una audiència que incloïa Church, Kleene i Rosser. En aquesta època, Gödel va copsar que la propietat clau que requerien els seus teoremes és que la teoria ha de ser efectiva (en aquell temps, hom usaba el terme "recursiva general"). Rosser demostrà el 1936 que la hipòtesi de ω-consistència, que era una part integral de la demostració original de Gödel, es podia substituir per la de consistència simple, sempre que l'afirmació de Gödel es canviés d'una forma adient. Aquests desenvolupaments van donar lloc a la forma actual dels teoremes d'incompletesa.
Gentzen va publicar la seva demostració de consistència per l'aritmètica de primer ordre el 1936.<ref>{{ref-publicació|cognom=Gentzen|nom=Gerhard|títol=Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie|publicació=Mathematische Annalen|data=1 desembre 1936|pàgines=493–565|volum=112|exemplar=1|doi=10.1007/BF01565428}}</ref> Hilbert va acceptar aquesta demostració com a "finita", encara que (com ja havia demostrat el teorema de Gödel) no es pot formalitzar en el marc del propi sistema aritmètic que s'està demostrant que sigui consistent.
Aviat es va fer palès l'impacte dels teoremes d'incompletesa en el programa de Hilbert. Bernays va incloure una demostració completa dels teoremes d'incompletesa en el segon volum dels ''Grundlagen der Mathematik'',<ref>{{ref-llibre|cognom=Bernays|nom=D. Hilbert; P.|títol=Grundlagen der Mathematik|lloc=Berlin|editorial=Springer|any=1970|isbn=978-3-540-05110-7|edició=2. Aufl.}}</ref> juntament amb resultats addicionals d'Ackermann sobre el mètode d'ε-substitució i amb la demostració de consistència de Gentzen de l'aritmètica. Aquesta fou la primera publicació completa del segon teorema d'incompletesa.
=== Crítiques ===
==== Finsler ====
[[Paul Finsler]] (1926) emprà una versió de la [[paradoxa de Ricard]] per construir una expressió que resultava ser falsa però indemostrable en un cert marc informal de la seva creació.<ref>{{ref-llibre|nom=Kurt Gödel. Ed. by Solomon Feferman|títol=Collected works IV|pàgines=9|lloc=New York [u.a.]|editorial=Oxford Univ. Press [u.a.]|any=2003|isbn=978-0198500735|url=http://www.amazon.co.uk/Kurt-Gödel-Collected-Selected-Correspondence/dp/0198500734|consulta=27 agost 2013|edició=Reprint.}}</ref> Gödel no coneixia aquest article en el moment que va demostrar els teoremes d'incompletesa. Finsler va escriure a Gödel el 1931 per informar-li d'aquest article, ja que creia que tenia prou rellevància per constituir un teorema d'incompletesa. Els mètodes de Finsler no tenien una base de demostrabilitat formalitzada, i només tenien una similitud superficial amb l'obra de Gödel.<ref>{{ref-llibre|cognom=Heijenoort|nom=Jean van|títol=From Frege to Gödel : a source book in mathematical logic, 1879-1931|pàgines=328|lloc=Cambridge, Mass. ;London|editorial=Harvard University Press|any=2001|isbn=0674324498|edició=7. [printing]}}</ref> Gödel va llegir l'article, però va trobar que tenia deficiències profundes, i en la seva resposta a Finsler va fer constar la seva preocupació per la falta de rigor.<ref>{{ref-llibre|cognom=jr|nom=John W. Dawson|títol=Logical dilemmas : the life and work of Kurt Gödel|pàgines=89|lloc=Wellesley, Mass.|editorial=A.K. Peters|any=2005|isbn=1568812566|edició=[Nachdr.]}}</ref>
==== Zermelo ====
Al setembre de 1931, [[Ernst Zermelo]] va escriure a Gödel per anunciar-li el que considerava una "errada essencial" en l'argument de Gödel.<ref name="dawson76">{{ref-llibre|cognom=jr|nom=John W. Dawson|títol=Logical dilemmas : the life and work of Kurt Gödel|pàgines=76|lloc=Wellesley, Mass.|editorial=A.K. Peters|any=2005|isbn=1568812566|edició=[Nachdr.]}}</ref> Al mes d'octubre, Gödel va contestar amb una carta de 10 pàgines.<ref name="dawson76" /><ref>{{ref-llibre|cognom=al.]|nom=ed. by I. Grattan-Guinness ; ed. board: Roger Cooke ... [et|títol=Landmark writings in Western mathematics, 1640-1940|pàgines=512-513|lloc=Amsterdam [etc.]|editorial=Elsevier|any=2008|isbn=9780444508713|edició=[Online-Ausg.].}}</ref> No obstant això, Zermelo no va desistir, i va publicar les seves crítiques com "un paràgraf força mordaç sobre el seu jove competidor".<ref>{{ref-llibre|cognom=al.]|nom=ed. by I. Grattan-Guinness ; ed. board: Roger Cooke ... [et|títol=Landmark writings in Western mathematics, 1640-1940|pàgines=512|lloc=Amsterdam [etc.]|editorial=Elsevier|any=2008|isbn=9780444508713|edició=[Online-Ausg.].}}</ref> Gödel va decidir que no valia la pena continuar amb la discussió, i Carnap hi va estar d'acord.<ref>{{ref-llibre|cognom=jr|nom=John W. Dawson|títol=Logical dilemmas : the life and work of Kurt Gödel|pàgines=77|lloc=Wellesley, Mass.|editorial=A.K. Peters|any=2005|isbn=1568812566|edició=[Nachdr.]}}</ref> Gran part de l'obra posterior de Zermelo va estar relacionada amb lògiques més fortes que les de primer ordre, amb les quals esperava mostrar la consistència i la categoricitat de les teories matemàtiques.
==== Wittgenstein ====
[[Ludwig Wittgenstein]] va escriure diversos passatges sobre els teoremes d'incompletesa que foren publicats de manera pòstuma en la seva obra de 1953 ''Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik''<ref>{{ref-llibre|cognom=Wright|nom=Ludwig Wittgenstein ; herausgegeben von G.E.M. Anscombe, Rush Rhees und G.H. von|títol=Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik|lloc=Frankfurt am Main|editorial=Suhrkamp|any=1984|isbn=978-3518281062|url=http://www.amazon.de/Werkausgabe-Band-Bemerkungen-Grundlagen-Mathematik/dp/3518281062|consulta=28 agost 2013|llengua=alemany|edició=1 Aufl.}}</ref> (en català, «Observacions sobre els fonaments de la matemàtica»; en anglès, «''Remarks on the Foundations of Mathematics''»). Gödel fou membre del [[Cercle de Viena]] durant el període en el qual la [[filosofia lingüística]] i el ''[[Tractatus Logico-Philosophicus]]'' de Wittgenstein dominaven el pensament del cercle. Els escrits continguts al ''Nachlass'' (en català, «el llegat») de Gödel posen de manifest la creença de què Wittgenstein va malinterpretar intencionadament les seves idees.
Diversos comentaristes interpreten que, efectivament, Wittgenstein va malinterpretar [[Kurt Gödel|Gödel]],<ref name="rodych2003">{{ref-publicació|cognom=Rodych|nom=Victor|títol=Misunderstanding Gödel: New Arguments about Wittgenstein and New Remarks by Wittgenstein|publicació=Dialectica|data=23 juny 2005|pàgines=279–313|volum=57|exemplar=3|doi=10.1111/j.1746-8361.2003.tb00272.x}}</ref> encara que Juliet Floyd i [[Hilary Putnam]],<ref name="floydputnam2000">{{ref-publicació|cognom=Floyd|nom=Juliet|títol=A Note on Wittgenstein's "Notorious Paragraph" about the Godel Theorem|publicació=The Journal of Philosophy|data=1 novembre 2000|pàgines=624-632|volum=97|exemplar=11|doi=10.2307/2678455|url=http://www.jstor.org/stable/2678455|consulta=28 agost 2013|coautors=Putnam, Hilary}}</ref> així com [[Graham Priest]],<ref>{{ref-llibre|cognom=Priest|nom=Graham|títol=Wittgenstein's lasting significance|lloc=Londres|editorial=Routledge|any=2004|isbn=0-415-30517-9|editor=Max Kölbel i Bernhard Weiss|capítol=Wittgenstein's Remarks on Gödel's Theorem|edició=1. publ.}}</ref> han aportat lectures que argumenten que la majoria de comentaris malinterpreten Wittgenstein. En el moment de la publicació, Bernays, Dummett i Kreisel van escriure articles per separat sobre les observacions de Wittgenstein, que eren totes extremadament negatives.<ref name="berto2009">{{ref-web|cognom=Berto|nom=Francesco|url=http://philpapers.org/rec/BERTGP|consulta=28 agost 2013|títol=The Gödel paradox and Wittgenstein's reasons|obra=Philosophia Mathematica, 17 (2)|pàgines=208-219|any=2009}}</ref> La unanimitat d'aquestes crítiques va fer que les observacions de Wittgenstein sobre els teoremes d'incompletesa tinguessin poc impacte en la comunitat dels lògics. El 1972, Gödel va afirmar: ''"Has Wittgenstein lost his mind? Does he mean it seriously?"''<ref name="wang1996">{{ref-llibre|cognom=Wang|nom=Hao|títol=A logical journey : from Gödel to philosophy|pàgines=197|lloc=Cambridge, Mass.|editorial=MIT Press|any=1996|isbn=0262231891|url=http://books.google.es/books?id=pckvCy6L_ocC&lpg=PR11&ots=p0qFy4DU8K&dq=Wang%2C%20Hao%20A%20logical%20journey&lr&hl=es&pg=PA131#v=onepage&q=Wang,%20Hao%20A%20logical%20journey&f=false|consulta=28 agost 2013|edició=2. print.}}</ref> (en anglès, «És que Wittgenstein ha perdut el cap? De debò vol dir això?») Posteriorment va escriure a [[Karl Menger]] que els comentaris de Wittgenstein demostraven una mala interpretació intencionada dels teoremes d'incompletesa:
{{citació
|''It is clear from the passages you cite that Wittgenstein did "not" understand [the first incompleteness theorem] (or pretended not to understand it). He interpreted it as a kind of logical paradox, while in fact is just the opposite, namely a mathematical theorem within an absolutely uncontroversial part of mathematics (finitary number theory or combinatorics).''
|col2=''Queda clar arran dels passatges que citeu que Wittgenstein "no" va entendre [el primer teorema d'incompletesa] (o no el va voler entendre). Ell va interpretar-lo com alguna mena de paradoxa lògica, quan de fet és just el contrari, és a dir, un teorema matemàtic en l'àmbit d'un col·lectiu de matemàtics sense cap possibilitat de controvèrsies ([especialistes de] teoria de nombres finits o combinatòria).''
|Hao Wang, ''A Logical Journey: From Gödel to Philosophy'', 1996<ref name="wang1996" />
|llengua1={{en}}
|llengua2={{ca}}
}}
D'ençà la publicació del ''Nachlass'' de Wittgenstein el 2000, han aparegut diversos articles sobre filosofia que avaluen si les crítiques originals de les observacions de Wittgenstein estaven justificades. Floyd i Putnam<ref name="floydputnam2000" /> asseguren que Wittgenstein tenia un coneixement més complet del teorema d'incompletesa del que es cregué amb anterioritat. Estan particularment preocupats amb la interpretació d'un enunciat de Gödel per una teoria ω-inconsistent, afirmant de fet "No sóc demostrable", ja que la teoria no té models en els quals la demostració de predicats correspongui de fet a la demostració real. Rodych<ref name="rodych2003" /> afirma que la seva interpretació de Wittgenstein no està justificada històricament, mentre que Bays (2004){{CC|data=agost de 2013}} està en contra de l'anàlisi filosòfica de Floyd i Putnam sobre el predicat de demostrabiliat. Berto<ref name="berto2009" /> explora la relació entre l'obra de Wittgenstein i les teories de lògica paraconsistent.
== Referències ==
| |||