Jacobià: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m →Determinant jacobià: wiki |
|||
Línia 79:
Si ''m'' = ''n'', llavors ''F'' és una funció d'un espai de dimensió ''n'' en un espai de dimensió ''n'' i la matriu jacobiana és una [[matriu quadrada]]. En aquest cas es pot conformar el seu [[Determinant (matemàtiques)|determinant]] que es coneix com el '''determinant jacobià'''. En algunes fonts, també se'l anomena el "jacobià".
El determinant jacobià dona informació important sobre el comportament de ''F'' a prop del punt. Per exemple, la [[funció contínuament derivable]] ''F'' és [[Funció invertible|invertible]] a prop de '''p''' si el determinant jacobià a '''p''' és diferent de zero. Aquest és el [[teorema de la funció inversa]]. És més, si el determinant jacobià a '''p''' és positiu, llavors ''F'' preserva la orientació a prop de '''p'''; si és negatiu, ''F'' inverteix la orientació. El [[valor absolut]] del determinant jacobià a '''p''' dona el factor pel qual la funció ''F'' expandeix o contrau els [[volum]]s a prop de '''p'''; és per això que el determinant jacobià surt a la [[integració per canvi de variable]] en el cas general de funcions de múltiples variables.
=== Exemple ===
Línia 91:
:<math>\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}=-8x_1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 0\\ x_3&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2.</math>
A partir d'aquí es veu que ''F'' inverteix la orientació a prop d'aquells punts on ''x''<sub>1</sub> i ''x''<sub>2</sub> tenen el mateix signe; la funció és [[localment]] invertible a tot arreu excepte a prop dels punts on ''x''<sub>1</sub> = 0
===Usos===
El determinant jacobià es fa servir en la [[integració per canvi de variable]] al [[integració|integrar]] una funció sobre el seu domini. Per adaptar la integral al canvi de variables
==Vagueu també==
| |||