Viquipèdia

Variable aleatòria: diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
correcció d'una imprecisió en la terminologia
Hi havia moltes incorreccions, he re-escrit/borrat bona part de la pàgina. Sóc doctorat en estadística, he tret algunes coses de la Wiki en anglès.
Línia 1:
{{expert}}
En [[estadística]] i [[teoria de probabilitat]] una '''variable aleatòria'''
En [[estadística]] i [[teoria de probabilitat]] una '''variable aleatòria''' es defineix com el resultat numèric d'un experiment aleatori. Matemàticament, és una funció medible <math>X:\Omega\to\mathbb{R}</math> que dóna un valor numèric, del conjunt dels reals, a cada succés en l'espai <math>\Omega</math> de l'espai mostra d'un experiment. Les majúscules <math>X</math> o <math>Y</math> s'utilitzen per denominar a variable aleatòries. El conjunt dels valors possibles d'una variable aleatòria se la coneix com a '''domini de la variable aleatòria'''.
és una quantitat a la qual s'assigna una [[distribució de probabilitat]].
Per exemple, pot ser el resultat numèric d'un experiment aleatori.
Des d'un punt de vista formal matemàtic, és defineix com una [[funció mesurable]] que pren valors en un [[espai mesurable]].
 
<math> cs, sc X:\Omega\to 1 \mathcal{S}</math> ▼
Donada una variable aleatòria <math>X</math> es poden calcular estimats estadístics diferents, com la mitjana ([[mitjana aritmètica]], [[mitjana geomètrica]], [[mitjana ponderada]] i [[valor esperat]] i [[variància]] de la [[distribució de probabilitat]] d'<math>X</math>.▼
 
Habitualment, els valors de la variable aleatòria són un nombre real, és a dir, <math>\mathcal{S}=\mathbb{R}</math>.
Intuitivament, <math>X</math> assigna un nombre real a cada succés en l'espai mostral <math>\Omega</math>.
El conjunt dels valors possibles d'una variable aleatòria se la coneix com a '''domini de la variable aleatòria'''.
En quant a la notació, la variable aleatòria se sol indicar amb <math>X</math> (en majúscules)
i el valor observat d'aquesta variable aleatòria se sol indicar amb <math>x</math> (és a dir, en minúscules).
 
▲DonadaPer tal de resumir el comportament probabilistic d'una variable aleatòria <math>X</math> es poden calcular estimatsdiverses estadístics diferentsquantitats, com la mitjanaara (l'[[mitjanaesperança aritmèticamatemàtica]], [[mitjana geomètrica]], [[mitjana ponderada]] io [[valor esperat]] io la [[variància poblacional]] de la [[distribució de probabilitat]] d'<math>X</math>.
Tanmateix, en general per a caracteritzar <math>X</math> completament cal conèixer-ne la distribució de probabilitat, l'espai mostral i l'espai mesurable en el que pren valors.
 
==Exemple==
Suposem que llencem dues monedes a l'aire,. iIndiquem siguiuna xcara laamb variablec aleatòria que identifica el nombre de caresi obtingudesuna encreu elamb llançaments.
Els possibles resultats de l'experiment són observar dues cares (cc), una cara seguida d'una creu (cs), una creu seguida d'una cara (sc) i dues creus (ss).
 
:Ω = { cc, cs, sc, ss } (c identifica una cara, s una creu)▼
:X: Nombre de cares obtingudes en el llançament.
▲:Ω = { cc, cs, sc, ss } (c identifica una cara, s una creu)
Sigui X la variable aleatòria que identifica el nombre de cares obtingudes en el llençament.
:<math>R_X</math> = { 0, 1, 2 } (Recorregut d'X)▼
És a dir, X és la següent funció dels elements d'Ω:
 
:<math> ssX(cc) \to= 02 </math>▼
Llavors associant Omega amb el recorregut d'X, obtenim que:
:<math> X:\Omega\to(cs) = X(sc) = R_X1 </math>
:<math> ccX(ss) \to= 20 </math>
▲ <math> cs, sc \to 1 </math>
▲ <math> ss \to 0 </math>
 
▲:El domini d'X és <math>R_XS</math> = { 0, 1, 2 } (Recorregut d'X).
Per a comprendre millor els tipus de variables, són necessàries les següents definicions:▼
 
*'''Conjunt discret''': Un conjunt és discret si està format per un nombre finit d'elements, o si els seus elements poden enumerar en seqüència de manera que hi hagi un primer element, un segon element, un tercer element, i així successivament.
 
== Tipus de Variables ==
 
▲Per a comprendre millor els tipus de variables, són necessàries les següents definicions:
*'''Variable aleatòria''': [[variable]] que quantifica els resultats d'un experiment aleatori.
Variable que pren diferents valors com a resultat d'un experiment aleatori. Categoria quantificable que pot prendre diferents valors cada cop que succeeix un experiment o succés, el valors només es coneixerà deterministicament una vegada ocorregut el succés. La matèria manejada per l'estadista són variables aleatòries, o sigui, fenòmens d'interès, els resultats del qual (dades) observats poden diferir entre una resposta o una altra.
 
*'''Variable aleatòria discreta''': una variable aleatòria és discreta si el seu conjunt de valors possibles és un conjunt discret, pren un nombre finit de valors numerables.
 
*'''Variable aleatòria continua''': variable que pren un valor infinit de valors no numerables.▼
Una variable aleatòria és continua si el seu conjunt de possibles valors és tot un interval de nombres; és a dir, si per algun <math> a<b </math>, qualsevol nombre <math> x </math> entre <math> a </math> i <math> b </math> és possible.
 
*'''Distribució de probabilitats''': model teòric que descriu la forma en que varien els resultats d'un experiment aleatori. Llista dels resultats d'un experiment amb les probabilitats que s'esperaria veure associades amb cada resultat.
 
*'''[[Funció de probabilitat]]''': funció que assigna probabilitats a cadascun dels valors d'una variable aleatòria discreta.
 
*'''[[Funció de densitat]] de probabilitat''': funció que medeix concentració de probabilitat al voltant dels valors d'una variable aleatòria continua.
 
*'''[[Funció de distribució]]''':funció que acumula probabilitats associades a una variables aleatòria.
 
*'''Variable aleatòria discreta''': intuitivament, una variable aleatòria és discreta si el seu conjunt de valors possibles es pot enumerar, tot i que el nombre de valors possibles no ha de ser pas finit. Per exemple, una variable aleatòria que pot prendre els valors <math> 1, 2, 3, \ldots </math> (on <math> \ldots </math> indica que la seqüència segueix indefinidament). Matemàticament, una variable aleatòria és discreta si la seva mesura de probabilitat està dominada per la [[mesura comptadora]].
*'''[[Valor esperat]] o [[esperança matemàtica]]''': és el valor de la variable aleatòria pel qual la funció distribució es maximitza. Per funcions de distribució simètriques amb un màxim central, el valor esperat coincideix amb la [[mitjana ponderada]].
La distribució d'una variable discreta sol representar-se amb la seva [[funció de distribució]] o amb la [[funció de probabilitat]].
 
▲*'''Variable aleatòria continua''': intuitivament, una variable quealeatòria prenes uncontínua si els valor infinitque depot valorsprendre no numerableses poden enumerar.
*'''[[Valor mitjà]]''': (o moment de primer ordre d'una distribució) operador matemàtic que caracteritza la posició de la distribució de probabilitats. [[Mitjana ponderada]] dels resultats d'un experiment.
Per exemple, una variable que pot prendre com a valor qualsevol nombre real.
Matemàticament, una variable aleatòria és continua si la seva mesura de probabilitat està dominada per la mesura de Lebesgue.
La distribució de probabilitat d'una variable continua sol representar-se amb la [[funció de distribució]] o amb la [[funció de densitat de probabilitat]].
 
[[Categoria:Estadística]]
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatòria»