Teorema de Bayes: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
afegit versió del teorema per a funcions de probabilitat de densitat |
afegit versio mes general del teorema |
||
Línia 40:
tot i que cadascun és en realitat una funció diferent.
Les funcions es poden distingir fàcilment pel nom dels seus arguments.
=== Teorema de Bayes emprant derivades de Radon-Nykodin ===
Existeix una versió general del teorema de Bayes que és vàlid
per variables aleatòries contínues i discretes, així com per qualsevol
dues variables per les quals disposem de la [[derivada de Radon-Nykodin]]
de la seva distribució de probabilitat respecte una [[mesura sigma-finita]].
Sigui <math>P_X</math> la mesura de probabilitat de X,
<math> \mu_X </math> una mesura sigma-finita que domina a <math> P_X </math>,
i anomenem
<math> f_X= \frac{dP_X}{d\mu_X} </math> a la derivada de Radon-Nykodin
de <math>P_X</math> respecte <math>\mu_X</math>.
Definim de forma anàloga <math>P_Y</math>, <math>\mu_Y</math> i
<math> f_Y= \frac{dP_Y}{d\mu_Y} </math>.
Considerem la mesura de probabilitat conjunta per a (X,Y),
que està dominada per la mesura producte <math>\lambda=\mu_X \times \mu_Y </math>,
i anomenem <math> f_{(X,Y)}= \frac{dP_{(X,Y)}}{d\lambda} </math>.
Aleshores la derivada de Radon-Nykodin de la mesura de probabilitat
de X condicional a la sigma-algebra originada per,
<math> f_{(X|Y)}= \frac{dP_{(X|Y)}}{d\mu_X} </math>,
satisfa:
:<math> f_{(X|Y)}= \frac{f_{(X,Y)}}{f_Y} </math>.
Si tant X com Y són variables aleatòries discretes, aquesta fòrmula és equivalent
a la versió original del teorema de Bayes.
Si tant X com Y són variables aleatòries contínues, aquesta fòrmula és equivalent
a la versió del teorema per a funcions de densitat de probabilitat
presentada anteriorment.
Tanmateix, aquesta versió és més general i pot aplicar-se, per exemple, quan X és
contínua i Y és discreta.
Aquesta versió del teorema pot generalitzar-se al cas de tenir més de dues variables
aleatòries. De fet, la generalització és directe: tan sols cal considerar que X i Y
són [[vectors aleatoris]] en lloc de variables aleatòries.
Donat que les versions presentades anteriorment en són casos particulars,
també es poden generalitzar de forma directe al cas de tenir més de dues
variables aleatòries.
[[Categoria:Teoremes]]
| |||