Espai de Banach: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m afirmació errònia (cf. discussió) |
m (x_n) |
||
Línia 7:
Quan en un espai vectorial tenim definida una norma, parlem d'[[espai vectorial normat]].
Sigui ''E'' un espai normat, prenem la definició usual de [[límit (matemàtiques)|límit]] amb la [[mètrica (matemàtiques)|mètrica]] habitual d('''x''','''y''') = ||'''x'''-'''y'''||. Diem que <math>\lim_{n\to \infty} \mathbf{x}_n=\mathbf x</math> quan ||'''x'''<sub>''n''</sub>-'''x'''|| → 0 per a ''n''→∞. Ara només cal afegir la noció de [[completesa]]. Direm que aquest espai normat ''E'' és complet quan tota [[Successió (matemàtiques)|successió]]
Així doncs, un '''espai de Banach''' és un [[espai vectorial]] ''E'' sobre el [[cos (matemàtiques)|cos]] dels nombres reals o el dels complexos amb una norma ||·|| tal que tota [[successió de Cauchy]] (respecte a la mètrica d('''x''','''y''')=||'''x'''-'''y'''||) en ''E'' és convergent (té un límit).
|