Nombre racional: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Estava mal ficat |
m Revertides les edicions de 85.50.13.197 (discussió) a l'última versió de Langtoolbot |
||
Línia 2:
S'anomena '''nombre racional''' a tot aquell [[nombre]] que pot ser expressat com a resultat de la [[divisió]] de dos [[nombre enter|nombres enters]], amb el [[divisor]] diferent de 0. El conjunt dels racionals es denota ℚ (<math>\mathbb{Q}</math>) o '''Q''', per [[quocient]]. Aquest [[conjunt]] de [[nombre]]s conté el dels [[nombre enter|nombres enters]] i és un [[subconjunt]] dels [[nombre real|nombres reals]]. Els [[nombre real|reals]] que no pertanyen a aquest conjunt s'anomenen [[nombre irracional|irracionals]].
Els racionals es caracteritzen per tenir un desenvolupament decimal (o en qualsevol [[Base (matemàtiques)|base]]) finit o periòdic, és a dir que té un nombre de xifres decimals finit, o bé que aquestes es repeteixen de manera
== Història ==
És versemblant que el concepte de nombre fraccionari dati dels temps [[prehistòria|prehistòrics]]. Fins i tot els [[Antic Egipte|antics egipcis]] van escriure textos matemàtics que descrivien com convertir [[fracció|fraccions]] generals en les seves fraccions amb [[fracció egípcia|notació especial]]. Els matemàtics indis i de la grècia clàssica van fer estudis sobre la teoria dels nombres racionals, com a part de l'estudi
El concepte de [[fracció decimal]] està lligat estretament a la notació amb valor posicional decimal; tots dos sembla que s'hagin desenvolupat en paral·lel. Per exemple, és habitual en les matemàtiques de Sutra incloure càlculs d'aproximacions en fraccions decimals de [[nombre π|pi]] o de l'[[arrel quadrada de dos]]. De forma similar, els textos matemàtics babilonis havien fet servir sempre fraccions sexagesimals freqüentment.
== Definició ==
[[Fitxer:Fracciones.gif|thumb|left|251px|Quarts]]
La forma intuïtiva d'entendre els nombres racionals és pensar en ells com els nombres que resulten de les [[fracció|fraccions]]. Una fracció es compon de dos nombres enters, un numerador ''n'' i un denominador ''d''. La fracció es pot entendre com la quantitat d'una cosa que es mesura en unitats que es poden dividir. La unitat d'aquesta cosa es parteix en un nombre ''d'' de parts iguals i se'n agafen ''n'' d'aquestes parts. A la figura de l'esquerra es parteix un cercle (que es pot fer servir com unitat de mesura de la matèria de què està fet) en quatre parts iguals, agafant-ne una, dues, tres, o quatre d'aquestes parts s'obtenen diferents quantitats de la matèria de la qual està fet el cercle. Si s'agafen menys de 4 parts es té menys d'una unitat de matèria, si se'n agafen més de 4 s'obtindria més d'una unitat, si se'n agafen exactament quatre es tindria una unitat.
Linha 379 ⟶ 382:
* A més, <math>\mathbb{Q}</math> és dens a <math>\mathbb{R}</math>, o sigui que entre dos [[nombre real|reals]] diferents, sempre cap un racional.
{{Caixa desplegable|títol=demostració|contingut=
Aquesta propietat és conseqüència de l'arquimedianitat de <math>\mathbb{R}</math>.
Siguin dos reals diferents. <math>a\,</math> i <math>b\,</math> on el més petit és <math>a\,</math> i el més gran <math>b\,</math>.
Cal veure que existeix un racional entre els dos.
Sigui <math>d\,</math> el real estrictament positiu <math>b-a\,</math>. En ser <math>\R</math> arquimedià, existeix un enter <math>q\,</math> tal que <math>1/d < q\,</math>.
Es considera llavors el conjunt dels enters <math>p\,</math> tals que <math>\frac{p}{q}\leq a</math>. Com que <math>\R</math> és arquimedià, aquest conjunt no és buit i està fitat superiorment. Admet per tant un suprem <math>p_0\,</math> tal que :<math>\frac{p_0}{q} \leq a < \frac{p_0}{q} + \frac{1}{q}< b</math>.
El nombre racional <math>\frac{p_0+1}{q}</math> està estrictament comprès entre <math>a\,</math> i <math>b\,</math>.
}}
[[Fitxer:Diagonal argument.svg|thumb|right|170px|Un diagrama que il·lustra que el conjunt dels nombres racionals és comptable, les fraccions en vermell corresponen a fraccions que són reductibles i que cal treure perquè representen el mateix nombre que una fracció que ja s'ha comptat abans.]]
* Es pot demostrar amb facilitat que el [[cardinal]] dels nombres racionals és el mateix que el dels [[nombre enter|enters]], el que significa que no hi ha més racionals que [[nombre enter|enters]]. A la figura de la dreta es presenta una forma d'ordenar el nobres racionals i comptar-los de manera que tard o d'hora qualsevol nombre racional serà comptat.
* Un nombre és racional si i només si el seu desenvolupament en [[fracció contínua]] és finit. Aquesta propietat és la base per a la demostració de la irracionalitat del [[Nombre e]] i de [[Nombre π|π]].
=== Propietats de la suma i la multiplicació ===
* La suma en Q és [[commutativa]]: <math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}</math>
* La suma en Q és [[associativa]]: <math>\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{p}{q} = \left(\frac{a}{b}+\frac{p}{q}\right)+\frac{c}{d}</math>
* La multiplicació en Q és associativa: <math>\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}\times\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)\times\frac{p}{q}</math>
* La multiplicació té la [[propietat distributiva]] respecte de la suma: <math>\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)+\left(\frac{a}{b}\times\frac{p}{q}\right)</math>
Totes aquestes propietats són conseqüència directa de les mateixes propietats en els nombres enters i es demostren directament aplicant les definicions de suma i multiplicació i després les propietats corresponents en els nombres enters.
{{Caixa desplegable|títol=Demostracions|contingut=
'''Commutativa de la suma:'''
:<math>\begin{align}
& \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} \\
& =\frac{cb+da}{db} \\
& =\frac{c}{d}+\frac{a}{b}
\end{align}</math>
'''Associativa de la suma.'''
Es calcula primer la suma amb el parèntesi en els dos últims:
:<math>\begin{align}
& \frac{a}{b}+\left( \frac{c}{d}+\frac{p}{q} \right)=\frac{a}{b}+\frac{cq+dp}{dq} \\
& =\frac{adq+b\cdot \left( cq+dp \right)}{bdq} \\
& =\frac{adq+bcq+bdp}{bdq}
\end{align}</math>
Llavors es calcula amb el parèntesi agrupant els dos primers:
:<math>\begin{align}
& \left( \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \right)+\frac{p}{q}=\frac{ad+bc}{bd}+\frac{p}{q} \\
& =\frac{\left( ad+bc \right)\cdot q+bdp}{bdq} \\
& =\frac{adq+bcq+bdp}{bdq}
\end{align}</math>
En tots dos casos el resultat és el mateix.
'''Associativa de la multiplicació'''
:<math>\begin{align}
\frac{a}{b}\times \left( \frac{c}{d}\times \frac{p}{q} \right)&=\frac{a}{b}\times \frac{c\times p}{d\times q} \\
& =\frac{a\times c\times p}{b\times d\times q} \\
& =\frac{a\times c}{b\times d}\times \frac{p}{q} \\
& =\left( \frac{a}{b}\times \frac{c}{d} \right)\times \frac{p}{q}
\end{align}</math>
'''Distributiva de la multiplicació respecte de la suma'''
:<math>\begin{align}
\frac{a}{b}\times \left( \frac{c}{d}+\frac{p}{q} \right)&=\frac{a}{b}\times \frac{c\times q+d\times p}{d\times q} \\
& =\frac{a\times \left( c\times q+d\times p \right)}{b\times d\times q} \\
& =\frac{a\times c\times q+a\times d\times p}{b\times d\times q} \\
& =\frac{a\times c\times q}{b\times d\times q}+\frac{a\times d\times p}{b\times d\times q} \\
& =\frac{a\times c}{b\times d}+\frac{a\times p}{b\times q} \\
& =\left( \frac{a}{b}\times \frac{c}{d} \right)+\left( \frac{a}{b}\times \frac{p}{q} \right)
\end{align}</math>
}}
== Generalització ==
La definició formal dels nombres racionals es pot fer servir per generalitzar el concepte de nombres racionals aplicant-la a [[cos (matemàtiques)|cossos]] diferents del cos dels nombres naturals. Llavors es parla del [[cos de les fraccions]].
Per exemple si s'aplica al cos dels polinomis llavors es construeix el cos de les [[fracció racional|fraccions racionals]]
{{Commonscat}}
{{ORDENA:Nombre Racional}} <!--ORDENA generat per bot-->
{{Enllaç AD|lmo}}
[[Categoria:Nombres racionals| ]]
| |||