Filosofia de les matemàtiques: diferència entre les revisions

Anteriorment, ja s'han traçat dues parelles de conceptes que són fonamentals per a situar el coneixement matemàtic: analític - sintètic, ''a priori'' - ''a posteriori''. Des del punt de vista de Hume, si fem cas a la interpretació neopositivista, ambdues parelles vénen a coincidir. No hi ha proposicions ''a priori'' que no siguin proposicions analíticaanalítiques. Les proposicions sintètiques són ''a posteriori''.

No obstant això, aquesta postura té una dificultat. Recordem l'estructura deductiva de les matemàtiques: els teoremes es dedueixen dels axiomes. Tot argument deductiu té la peculiaritat que si les premisses són vertaderes la veritat de la conclusió està garantida. La pregunta, llavors, és què es pot dir de la veritat dels axiomes. Si pensem comocom Hume, els axiomes s'obtindran a partir de les idees que després seran generalitzades mitjançant termes generals. Però, cal recordar que les idees, encara que són obtingudes a partir de l'experiència, pateixen una transformació deguda a la imaginació. I llavors, res garanteix la seva objectivitat, perquè està clar que si les idees no són fidels còpies de la realitat, llavors les conclusions que traiem a partir d'ellsaquestes tampoc ho seran.

Es pot veure aen I. [[Kant]] (1724-1804) un intent d'aprendre de les lliçons de Hume, però amb la garantia d'objectivitat que pretenia el racionalisme clàssic. I Kant creu que troba aquesta objectivitat, d'una banda, en les relacions espacials i temporals entre les coses i, de l'altra, en el que ell anomena ''categories''. Aquestes relacions espacials i temporals, així com les categories són, per a Kant, una característica estructural del ment humana. Si haguéssim de jutjar a Kant en termes dels racionalistes moderns, podríem dir que aquestes relacions i categories són ''innates''.

La filosofia de la matemàtica de Kant elabora, des del punt de vista epistemològic, la pràctica matemàtica de la seva època encara basada en la geometria d'Euclides (Shabel, 1997). L'obra onen què es podenpot trobar el fonamental de la filosofia de la matemàtica de Kant és la seva ''Crítica de la raó pura'', que a més de ser també la seva obra més important és un dels cims de la filosofia occidental moderna.

En aquesta obra, en la part "Estètica transcendental", Kant anomena ''intuïció a'' la captació d'éssers o objectes individuals: particulars o individus. Per a Kant, els éssers humans només poden entrar en contacte amb individus mitjançant la sensibibilidadsensibibilitat. Per tant, totes les nostres intuïcions són sensibles, pertanyen a l'experiència sensible, totes són intuïcions empíriques. Per exemple, veure aquest arbre, sentir la campana de l'església propera, veure aquest capoll de rosa, etc.

Però, per a Kant, tota intuïció té dues parts: la forma de la intuïció i la matèria de la intuïció. La forma de la intuïció la constitueix l'espai i el temps. L'espai és el marc en el qual situem els particulars que intuïm i alhora el conjunt de les relacions espacials que guarden entre ellssi. Amb el temps passa una cosa semblant; en ellaquest situem els esdeveniments. Kant assenyala que només podem representar-nos el temps espacialment, per la qual cosa el que diguemdiem de l'espai es pot estendre al temps.

Convé precisar que l'espai i el temps ni són meres relacions, ni són coses independents. Es pot parlar de relacions espacials i temporals, però l'espai i el temps no es redueixen a ellesaquestes perquè constitueixen dues totalitats: hi ha un sol espai i hi ha un sol temps. Però l'espai i el temps no poden presentar-se com dues coses independents al costat dels altres ens físics. L'espai i el temps apareixen amb les coses físiques, amb els particulars, i aquests sempre apareixen en l'espai i el temps.

Les relacions espai-temporalsespaciotemporals constitueixen l'únic objectiu de cada intuïció. Si volem dir alguna cosa objectiuobjectiva d'un fet de l'experiència concret, només podem parlar de les relacions que les coses mantenen en l'espai i el temps. Així, les relacions de posició, distància, grandària, el transcurs del temps, la velocitat (distància recorreguda dividida pel temps transcorregut), etc., sí que són objectives. En canvi, formen part de la matèria tots els aspectes de la intuïció que no tenen un caràcter espacial o temporal: els colors, les olors o els gustos; la matèria no pot ser objectiva. Per exemple, observem un capoll de rosa vermella bressolat suaument per la brisa. La longitud de la tija, la velocitat de l'oscil·lació, la mida del capoll són relacions concretes objectives del fet. El matís del color o l'aroma no ho són.

Per a Kant, tota intuïció té la seva forma, i la forma d'una intuïció no pot no estar, i totes les intuïcions tenen la seva forma. En termes que ja coneixem: la forma de cada intuïció és necessària i universal. Com la forma de cada intuïció està constituïda pel conjunt de relacions d'espai i temps que posseeixté la intuïció, llavors les relacions espaciotemporals de les intuïcions són necessàries i universals (no poden no estar i estanestar en totes les intuïcions), ella quequal cosa per a Kant és un criteri infal·lible que aquestes relacions espaciotemporals d'una intuïció són conegudes ''a priori'', és a dir, independentment de l'experiència.

És més, per a Kant, les relacions espacials i temporals no tenen el seu origen en l'experiència, no tenen res d'empíric, procedeixen exclusivament de la nostra ment: són, en terminologia kantiana, ''intuïcions pures'' (que no són un tipus d'intuïcions diferents de les intuïcions empíriques, sinó només la forma que té Kant de parlar de la forma d'una intuïció que és sempre empírica). Per tant, la nostra captació de les relacions d'espai i temps són intuïcions ''a priori'' iai a més pures, sense res d'empíric. I l'objecte de les matemàtiques consisteix en tals intuïcions pures ''a priori'': l'espai i el temps.

Però, segons Kant, no hi ha coneixement si les intuïcions no estan conceptualitzades. Només hi haurà coneixement matemàtic quan hi hagi conceptes matemàtics (recordem, un concepte és universal, la intuïció particular). Els conceptes, en Kant, són producte de l'activitat espontània del nostre enteniment. Però, al seu torn, els conceptes, si volen tenir caràcter objectiu, si han de servir per a conèixer, han de tindre instàncies en intuïcions (aquesta és la funció delde l'esquematisme, segons Kant). En el cas de les matemàtiques, en la part formal de la intuïció, en la intuïció pura.

Tenim així intuïcions, que són sempre empíriques (encara que una part n'és pura), i conceptes que poden ser conceptes purs,; aquí, els propis de les matemàtiques (veurem que hi ha un altre tipus de conceptes purs) i uns conceptes empírics, que seran els altres.

Kant també entén que les matemàtiques es formulen axiomàticament, de manera que els teoremes es deduiran dels axiomes. I aquests són proposicions sintètiques ''a priori.'' (Kant parla de ''judici'' i no de ''proposició''; seguirem aquest ús en endavant).

Per entendre el que això vol dir, és important destacar que Kant desfà la identificació que es podria seguir de la postura de Hume (interpretada a la manera del neopositivisme) entre analític i ''a priori'', d'una banda, i, de l'altra, entre ''a posteriori'' i sintètic. Recordeu que la distinció ''a priori'' - ''a posteriori'' és una distinció que parla de l'origen del nostre coneixement, si prové o no de l'experiència.

Per la seva banda, la distinció entre analític i sintètic és una distinció semàntica que situa la veritat d'una proposició, respectivament, en l'articulació dels nostres conceptes o no. Recordem que Hume només admetia dos tipus de coneixements: relacions d'idees i qüestions de fet. Les relacions d'idees són ''a priori'', és a dir, es coneixen independentment de l'experiència sensible,; en concret, es coneixen analitzant les relacions que hi ha entre les idees. Així, les relacions d'idees de Hume es formularan en judicis ''a priori'' i analítics. Hume, a més, pensa que un judici ''a priori'' només pot ser analític, de manera que, per a ell, s'identifiquen els judicis que són analítics i els que són ''a priori'': un judici analític serà ''a priori'' i si és ''a priori'' serà analític. Dit d'una altra manera: les úniques veritats ''a priori'' que hi ha són les veritats conceptuals que es formulen mitjançant els judicis analítics. Per la seva banda, les qüestions de fet es coneixen ''a posteriori'', mitjançant l'experiència sensible. Com no poden ser judicis analítics, seran sintètics. Per tant, les qüestions de fet es formulen en judicis sintètics ''a posteriori''.

Però, Kant hi afegeix un tercer tipus de judici: els judicis sintètics ''a priori''. En altres paraules, per a Kant, un judici ''a priori'' no ha de ser analític sempre sinó que també pot ser sintètic. I, en conseqüència, Kant distingeix entre judicis analítics (sempre ''a priori'') i judicis sintètics que poden ser ''a priori'' iai ''a posteriori''. Dit d'una altra manera, Kant nega que només hi haja necessitat ''a priori'' de tipus conceptual. Per tant, segons Kant, hi ha judicis ''a priori'' que no parlen de conceptes sinó de particulars, i com els particulars només es donen en l'experiència, Kant està dient que sabem ''a priori'' veritats sobre el món: són els judicis sintètics ''a priori''.

En Kant, un judici sintètic sempre necessita una intuïció, és a dir, un ens particular.Toda Tota intuïció té dues parts: matèria i forma. El que hagi de dir sobre la matèria es formularà mitjançant un judici sintètic ''a posteriori''. Però, tota intuïció té també una part pura, la seva forma, que és necessària i universal i, per tant, segons la doctrina de Kant, ''a priori''. Quan ens limitem a fer judicis sobre la part pura d'una intuïció, fem judicis matemàtics i aquests són sintètics ''a priori''. Un judici sintètic ''a'' ''priori'' vertader ens diu una veritat sobre el món.

Finalment, pot semblar òbvia l'explicació de Kant de l'aplicació de les matemàtiques per al coneixement científic. En la mesura que tota intuïció té una forma i aquesta forma és l'espai i el temps, els quals són estudiats per la geometria, és clar per què podem aplicar la geometria a la realitat. Però, per a Kant, el coneixement neix de la combinació d'intuïcions i conceptes. Per garantir que els nostres conceptes aplicats a la intuïció són els correctes, Kant introdueix certs conceptes purs i certs judicis sintètics ''a priori''. Simplificant, en la part anomenada "Analítica transcendental" de la ''Crítica de la raó pura'', Kant argumenta que en el nostre enteniment tenim coneixements que garanteixen que les nostres intuïcions es poden mesurar (són magnituds en el sentit de la física). Es tracta de conceptes purs i judicis sintètics ''a priori''. Kant anomena a aquests conceptes ''categories de la quantitat'' i ''categories de la qualitat'', i alsels judicis sintètics ''a priori'' ''axiomes de la intuïció'' i ''anticipacions de la percepció''. Aquests judicis sintètics ''a priori'' ens diuen alguna cosa sobre el món: que té magnituds, que es pot mesurar.

Com assenyala Dummett (1998, pàg. 128 i ss.), malgrat la seva importància, al segle XIX, la major part dels matemàtics es van moure en una direcció que xocava amb la de Kant. El segle XIX va veure un important esforç per part dels matemàtics per introduir rigor en l'Anàlisianàlisi, és a dir, la teoria dels nombres reals, racionals com 1 / 3 o irracionals com a l'arrel de 2 o pi. Això era necessari a causa de les antinòmies generades pels intents del segle anterior per a fonamentar el càlcul en la noció de d'infinitèsims (nombres infinitament petits diferents de 0). Un motiu gairebé igualment fort va ser fer l'Analisianalisi independent de nocions geomètriques, que eren les que servien de base a la major part de les matemàtiques des dels grecs. El model de coneixement matemàtic seguiacontinuava sent el dels ''Elements'' d'Euclides. Normalment, aquest intent d'alliberar de nocions geomètriques es descrivia com alliberar l'Anàlisianàlisi del recurs a la intuïció, perquè Kant, com s'ha vist, denominava "''intuïció pura" a'' la captació de les relacions d'espai i temps, que eraeren la base de les matemàtiques.

Segons Dummett, el primer a emprendre la tasca d'alliberar a l'anàlisi de la intuïció va ser el matemàtic i filòsof txec [[Bernard Bolzano]] (1781-1848). Com a filòsof, va ser una excepció per la poca influència que Kant va exercir sobre ell. Com a matemàtic, estava determinat a eliminar la intuïció de l'anàlisi, i a provar desdels axiomes tot el que pogués ser provat, no importava com d'obvi pogués semblar quan es pensava en termes geomètrics. Una raó per a això va ser que el que sembla obvi intuïtivament pot no ser vertader. Si pensem en una funció contínua en un interval (incloent-hi els punts extrems) representada per un una corba en un paper, sembla intuïtivament obvi que, en l'interval donat, qualsevol corba ha de tenir un pendent, excepte en un nom finit de punts; quan, per exemple, la corba està feta de dos segments de línia recta en angle diferent, no hi ha pendent en el punt en què es troben les dues línies. No obstant això, Bolzano va obtenir el primer exemple (encara que no ho va publicar) d'una funció contínua en un interval, però que no era diferenciable en cap punt de l'interval. Expressat geomètricament, això estaria representat per una corba contínua que no tingués pendent en cap lloc; naturalment, no es pot dibuixar, excepte una successió d'aproximacions a ellaaquesta. No obstant això, fins i tot quan el que sembla obvi és de fet vertader, en opinió de Bolzano, segueixcontinua sent necessari deduir i fer-ho sense invocar idees alienes d'espai o temps: les matemàtiques estan interessades no noméssols a establir veritats sinó ena determinar quines veritats reposen sobre d'altres. Així, és obvi "per a la intuïció" que, si una corba contínua al principi d'un interval està sota l'eix X i al final de l'interval sobre l'eix X, ha de creuar l'eix X en algun punt de l'interval. En termes purament aritmètics, això es converteix en el teorema del valor intermedi, amb la conseqüència que si una funció contínua tenenté un valor negatiu al principi de l'interval i un valor positiu al final de l'interval, ha de tenir el valor 0 en algun lloc de l'interval. El 1817, Bolzano publicarpublicà un intent de prova d'aquest teorema, el qual, encara que no sense errors, va contribuir notablement al programa d'alliberar l'anàlisi de la seva dependència de la intuïció espacial.

Per obtenir el desitjat rigor en la teoria dels nombres reals, coneixdemconeixem ja el mètode fonamental en les matemàtiques: l'axiomatització. En el cas que ens ocupa, consistiria a aïllar els trets fonamentals dels nombres reals, en els quequals es poden fer descansar totes les deduccions conegudes dels teoremes sobre ellsaquests. Aquests trets fonamentals poden, llavors, ser suposats com a axiomes i tot el que es vulga provar sobre els nombres reals està obligat a ser deduït d'ellsaquests.

Però, si volem no suposar l'existència d'entitats que satisfacin els axiomes, cal construir els nombres reals. Igual que passa amb el procés d'axiomatització, la construcció també és present aen ''Els Elementselements'' d'Euclides. En aquesta obra, moltes de les demostracions es formulen com a problemes que plantegen construir amb regle i compàs figures geomètriques. Aquest és l'origen d'aquesta expressió i el sentit que té en l'obra de Kant.

Així, doncs, en termes actuals, l'axiomatització ens mostra quins trets ha de tenir un sistema d'entitats per a qualificar-se com a sistema de nombres reals i, d'altra banda, dur a terme la construcció garanteix que no necessitem suposar l'existència d'un sistema que satisfaci els axiomes, sinó que proporcionem aquestes entitats a partir d'altres de les quequals ja disposem.

Com es tracta d'un concepte que apareixerà més endavant, cal il·lustrar el concepte de construcció en sentit modern. Se seguirà aquí a Dummett (1998, p.131) en la seva explicació de la construcció dels nombres reals del matemàtic [[Richard Dedekind]] (1831-1916). Dedekind suposa que poden prendre's els nombres racionals, que abasten els enters i fraccions d'enters tals com 3 / 8, com a donats. La seva construcció dels nombres reals comença amb la idea que un nombre irracional (l'expressió decimal delsdel qualsqual té infinites xifres, per exemple, arrel quadrada de 2) té una posició determinada respecte als racionals: tot nombre racional és o més petit o més gran que un nombre irracional. Considera, llavors, un "tall" en els racionals. Un tall és una partició de tots els racionals en dues classes, una d'inferior i una altra de superior,; com que cap classe és buida, tot racional pertany a una i només una de les classes,; un nombre racional més petit que un element donat de la classe inferior també pertany a la classe inferior, i un més gran que un donat de la classe superior també pertany a la classe superior. Un d'aquests talls és el que divideix els racionals en tots els que són menors o iguals que 8 / 5 (la classe inferior) i tots els més grans que 8 / 5 (la classe superior). Una altra és la que els divideix en aquells l'arrel quadrada és menor que 2 (la classe inferior) i aquells l'arrel quadrada dels quals és major que 2 (la classe superior): cap n'està fora, ja que no hi ha cap nombre racional que sigui l'arrel quadrada de 2. És evident que un tall ha de ser d'aquests tres tipus: (1) la classe inferior té un element que és el major, però la superior no té un element que siguasiga el menor (el nostre primer exemple -8/5- era d'aquest tipus),; (2) la classe superior té un element que és el menor, però la classe inferior no té un element que siguasiga el més gran; (3) la classe inferior no té un element que siguasiga el més gran, i la classe superior no té un element que siguasiga el menor (el segon exemple -arrel quadrada de 2 - era un cas d'aquest tipus). Els nomsnombres reals poden identificar-se amb les classes superiors de lesdels talls que no tenen menorun element menor en la classe superior (els tipus 1 i 3). En uns casos, com l'exemple de 8 / 5 (cortaduratall tipus 1), coincideixen amb els nombres racionals,; en altres casos, com en l'exemple de l'arrel quadrada de 2 (tall tipus 3), coincideix amb un nombre irracional. Amb els nombres racionals i irracionals, tenim el conjunt complet dels nombres reals.

Tot i el que s'ha dit en la secció anterior, la influència de Kant no va desaparèixer. El formalisme és una posició en filosofia de les matemàtiques que segueixcontinua sent fidel a Kant en essència, encara que recull les pretensions de l'eliminació de la intuïció pura en el sentit d'intuïció geomètrica. El seu autor més important és [[David Hilbert]]. Un formalista hilbertià considera que el llenguatge, en concret el llenguatge matemàtic, pot reduir-se a operar espaciotemporalment amb signes. I treu com a conseqüència que els nostres conceptes matemàtics poden ser expressats, com pensava Kant, en operacions sobre les relacions d'espai i temps. No obstant això, quan Kant deia això, pensava bàsicament en la geometria (construir figures i sòlids geomètrics). Quan els formalistes parlen d'operacions sobre les relacions d'espai i temps, pensen en els sistemes formals.

Un sistema formal (Koerner, 1968, "formalisme") és una teoria axiomatizada en què s'ha substituït el llenguatge natural per un conjunt de signes que obeeixen a regles que es redueixen a operar sobre relacions espai - temps amb els signes. Per exemple, formar oracions és construir una filera de signes amb un ordre donat. Per il·lustrar-ho, podem recórrer al sistema formal del mateix Hilbert per a l'aritmètica. Recordem aquí els axiomes de l'aritmètica, és a dir, la definició del concepte de nombre natural:

# Si x és un nombre natural, el successor de x és un nombre natural

# Per a tot x i y, si els seus successors són iguals, llavors x i y són iguals

# Donada una propietat, si 0 té aquesta propietat i si per a un nombre natural qualsevol la té, ellaquest i el seu successor, llavors tot nombre natural té la propietat.

Segons Hilbert, la matèria d'estudi de la teoria elemental dels nombres és el conjunt dels signes "I", "II", "III", "IIII", "IIIII", etc., més el procés de produir aquests signes començant amb "I" i afegint cada vegada un altre traç després de l'últim traç del signe anterior. El signe inicial "I" i la regla de producció proporcionen junts els objectes de la teoria. S'utilitzen lletres minúscules per a designar xifres no especificades. Per a les operacions, hi ha dos signes. El signe "=", que indica que dues xifres poden substituir-se mútuament, i el signe "<", que indica que la xifra de l'esquerra està continguda en la de la dreta. Amb aquests signes, poden definir (introduint-hi els signes corresponents) l'addició, la sostracciósubtracció, la multiplicació i la divisió, i es poden expressar les seves lleis.

Per la seva banda, l'axioma 5, denominat ''principi de d'[[inducció matemàtica]]'', es formalitza així: a) "I" té certa propietat, b) si quan qualsevol expressió -traç posseeixté la propietat, llavors la posseeixté la següent (la formada afegint un "I" a la inicial); llavors, es veurà que la propietat la té qualsevol expressió-traç que pot produir-se. Aquí, el verb "veure" no és gratuït. Se suposa que totes les operacions descrites es redueixen a operacions en l'espai i el temps.

Així, d'una banda, el formalisme és hereu de Kant. D'altra banda, el formalisme és una forma de nominalisme. Per al formalisme, com per a qualsevol nominalisme, no existeixen els conceptes correctes o incorrectes. Els conceptes, ens els inventem nosaltres. Per tant, els conceptes matemàtics i les seves teories corresponents amb els seus axiomes són producte de la nostra imaginació. L'únic requisit és que no hi haja contradiccions en el concepte (expressat en el conjunt dels axiomes).

El formalisme té en contra els anomenats [[Teoremes d'incompletesa de Gödel|''teoremes d'incompletesa de Gödel'']] formulats per [[Kurt Gödel]] el 1931. Una conseqüència d'aquests teoremes és que és impossible presentar un sistema formal per a l'aritmètica que pugui demostrar o refutar qualsevol proposició definida en el sistema sense caure en una contradicció.

El concepte fonamental delde l'intuïcionisme n'és un que ja hem anomenat: la construcció. Per a un intuicionistaintuïcionista (Koerner, 1968, "Intuïcionisme"), una construcció és una entitat mental i en cap cas es poden identificar amb entitats lingüístiques. Les construccions no són oracions del llenguatge natural ni d'un llenguatge o sistema formal, encara que s'hi puguin expressar-se en ells.

Es tracta d'una entitat mental que tampoc, segons l'opinió dels intuïcionistes, té caràcter espacial. Aquí se separen de Kant. Kant pensava que els fenòmens mentals eren només temporals, no espacials, però pensava que la seva representació només podia ser espacial, com en el cas dels fenòmens físics. En sentit intuicionistaintuïcionista, la construcció té el sentit complementari a l'axiomatització que hem vist anteriorment, però amb peculiaritats que la restringeixen.

Com a il·lustració, podem considerar l'explicació intuïcionista del significat d'una operació lògica: aquesta no es fa especificant les condicions de veritat de les oracions complexes en termes de les oracions que les constitueixen. Per contra, el que es fa és especificar, quan una construcció és una deducció d'una oració, el signe principal és l'operació en qüestió, suposatsuposant que se sap la deducció de les oracions que la constitueixen. Per exemple, una deducció d'una conjunció "A & B" és una cosa que dedueix A i també dedueix B. Una deducció de "A o B" és una cosa que o dedueix A o dedueix B. Una deducció de "no A" és una operació de la quequal podem dir, aplicada a qualsevol deducció de A, que conduirà a una contradicció,; per tant, garanteix que mai trobarem una deducció de A.

Des d'aquesta perspectiva, moltes veritats lògiques de la lògica clàssica segueixencontinuen valent, però no totes. Per exemple, el [[Principi de Tercer exclòs|principi de tercer exclòs]] "A o no A" no és vàlid. Pel que s'ha dit, per poder afirmar el principi de tercer exclòs en un cas concret s'ha de tenir una deducció de A o una deducció de no A. Però, com s'ha dit, també es pot donar el cas que ni tinguem una deducció de A ini tampoc una de no A. Podem, senzillament, no saber si existeix una deducció per a A o per a no A.

A causa d'aquesta posició, hi ha procediments de deducció que no són admissibles per a un intuicionistaintuïcionista, de manera que, en aquest cas, la matemàtica intuicionistaintuïcionista tracta de reconstruir les matemàtiques existents amb els seus procediments restringits. La majoria dels matemàtics no estan per la tasca i creuen que aquestes restriccions no estan justificades.

De tota manera, el l'intuïcionisme manté una posició metafísica que mostra la seva filiació kantiana. Els matemàtics i lògics no intuïcionistes assenyalen que les afirmacions han de ser o vertaderes o falses, i això suposa que hi ha una realitat objectiva que d'alguna manera produeix aquesta veritat o falsedat. Una altra cosa és que nosaltres ho sapiguem o no,; però, se suposa sempre que les afirmacions són o vertaderes o falses. L'intuïcionisme es nega a acceptar aquest supòsit metafísic d'una realitat que nosaltres no podem captar directament. El L'intuïcionisme no pot acceptar com a vertader allò que no té una prova a favor per a nosaltres. No hi ha veritat independent del subjecte. Això és [[idealisme]] i l'idealisme intuïcionista és d'arrel kantiana.

Al llarg d'aquest article, s'han presentat diverses posicions ontològiques i epistemològiques sobre les matemàtiques. Sense por a equivocar-se, es pot dir que la major part dels matemàtics són platònics, realistes matemàtics. Perquè la major part de les matemàtiques clàssiques han de suposar, per poder-se dur a terme, la concepció platònica. L'exemple més extrem n'és el de la [[Teoria de Conjunts|teoria de conjunts]] (Dummett, 1998, p. 173).

No obstant això, com es pot suposar pel que s'ha dit sobre les diferents versions del platonisme, aquest s'enfronta a un problema epistemològic, a un problema sobre l'explicació de l'accés als ens matemàtics. Aquesta situació se sol denominar [[Dilema de Benacerraf|''dilema de Benacerraf'']], ja que aquest autor va popularitzar el plantejament de la qüestió en aquests termes (Benacerraf, 1973). D'una banda, les matemàtiques necessiten ser ontològicament platòniques perquè altres concepcions tenen les seves pròpies dificultats, però el platonisme té una dificultat epistemològica fonamental: l'explicació de l'accés a les suposades entitats matemàtiques és encara més problemàtica.