Paradoxa de Russell: diferència entre les revisions

Suposem un conjunt que consta de conceptes que no són membres de si mateixos. Un exemple descrit, és el conjunt que consta d'"idees abstractes", que és membre de si mateix perquè el conjunt és ell mateix una idea abstracta, mentre que un conjunt que consta de "llibres" no és membre de si mateix perquè el conjunt no és un llibre. En la seua paradoxa, Russell preguntava (en carta escrita a Frege el [[1902]]), si el conjunt de conceptes que no formen part d'ellsde si mateixos formen part de si mateix. Si no forma part de si mateix, pertanyen al tipus de conjunts que sí que formen part de si mateixos.

Anomenem ''M'' al "conjunt de tots els conjunts que no es contenen a si mateixos com a membres". Llavors, ''M'' és un element de ''M'' si i només si ''M'' no és un element de ''M'', la qual cosa és absurdabsurda.

Un desenvolupament més formal es presenta aen la

[[Teoria de Conjunts#Problemes en la teoría intuïtiva de conjunts: la paradoxa de Russell|Teoriateoria Intuïtivaintuïtiva de Conjuntsconjunts]].

La paradoxa de Russell ha sigut expressada en diversos termes més quotidians; el més conegut és la ''paradoxa del barber'':

La paradoxa de Russell ha estat expressada en diversos termes més planers, el més conegut és la '' paradoxa del barber '', que es pot enunciar de la manera següent:

En un llunyà poblat d'un antic [[emirat]] hi havia un barber anomenat As-Samet ,'' destre a afaitar caps i barbes, mestre a esporgar peus i a posar sangoneres ''. Un dia, l'emir es va adonar de la falta de barbers a l'emirat, i va ordenar que els barbers només afaitessin aquelles persones del poble que no poguessin fer-ho per si mateixes. Un dia, l'emir va cridar As-Samet perquè l'afaités i ell li va explicar les seves angoixes:

: - Al meu poble sóc l'únic barber. No puc afaitar el barber del meu poble -que sóc jo-, ja que llavors puc afaitar-me per mi mateix i està prohibit!. Però, si en canvi no m'afaito, llavors algun barber m'ha d'afaitar, però ja he dit que sóc l'únic barber del meu poble!

AEn [[lògica de primer ordre]], la paradoxa del barber es pot expressar com:

onen què <math> \mathrm{s'afaita}(x, y) </math> vol dir" <math> x </math> és afaitat per <math> i </math> ". L'anterior es llegiria com "Cadacada persona és afaitatafaitada pel barber si i només si no s'afaita a si mateixa". És important notar la semblança entre les equacions (2) i (4). En substituir <math> x </math> per <math> barber </math> s'obté:

és a dir, que el barber s'afaita a si mateix si i només si no s'afaita a si mateix, la qual cosa és una contradicció.

Un conjunt de conjunts és normal, excepte si podem fer que es contingui a si mateix.

EstàÉs clar que un conjunt donat o bé és normal o bé és singular, no hi ha terme mitjà. O es conté a si mateix o no es conté.

* [[Teoria de conjunts]].