|
=== Càlcul ===
Leibniz tingué com a guia el matemàtic i físic [[Christiaan Huygens]] ([[1629]] - [[1695]]). Realitzà dos viatges a [[Londres]] on tingué accés al manuscrit de [[Newton]] ''[[De Analysi]].''.
Leibniz se centrà especialment en l’estudil'estudi sobre [[successions numèriques]], i, com a exemple, les [[Successió (matemàtiques)|successions]] de diferències consecutives associades. Donada una successió de nombres
<math>a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n</math>
Podem formar la successió de les seves diferències primeres:
<math>b_1 = a_1, b_2 = a_2 - a_1, b_3 = a_3 - a_2, ..., b_n = a_n - a_{a_n-1}, ...</math>
Leibniz s’adonàs'adonà de la relació: ▼
▲Leibniz s’adonà de la relació:
<math>b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_n = a_n</math>
Això indica que les successions de diferències poden sumar-se fàcilment i que en el procés de formar-la i després sumar-la es recupera la successió inicial, id est, que es tracten d’operacionsd'operacions inverses l’unal'una a l’altral'altra. Aquesta senzilla idea, quan es trasllada al camp de la geometria, condueix al concepte central del càlcul leibnizià, el concepte de diferencial, el qual tingué per ell diferents significats segons l’èpocal'època. ▼
Leibniz considerava una corba com un [[polígon]] d’d'[[infinit]]s costats de longitud [[infinitesimal]]. Amb tal corba, s’associas'associa una [[ Successió (matemàtiques)|successió]] d’d'[[Abscissa (matemàtiques)|abscisses]] <math>x_1, x_2, x_3, x_4, \ldots</math> i una [[successió ]] d’d'[[Ordenada (matemàtiques)|ordenades]] <math>y_1, y_2, y_3, y_4, \ldots</math> on els punts <math>(x_i, y_i)</math> estan tots ells a la corba i componen els [[vèrtexs]] de la poligonal d’d'[[infinit]]s costats. La diferència entre dos valors successius de <math>x</math> és anomenada ''[[diferencial]] de'' <math>x</math> i es representa per <math>dx</math>, per significat anàleg, té <math>dy</math>. El diferencial <math>dx</math> és una quantitat fixa, no nul·la, [[Infinit|infinitament]] petita en comparació amb <math>x</math>, de fet, és una quantitat [[infinitesimal]]. Els costats del [[polígon]] són representats per <math>ds</math>. Resulta així el [[triangle característic]] de Leibniz, que és el mateix que ja fou considerat per [[Barrow]]. ▼
Curiosament, els termes [[abscissa]], [[ordenada]] i [[coordenades]], tan propis de la [[geometria analítica]], no foren utilitzats mai per [[Descartes]], sinó que són deguts a Leibniz; i mentre nosaltres parlem de [[diferencial]]s, ell parlà sempre de diferències. ▼▲Això indica que les successions de diferències poden sumar-se fàcilment i que en el procés de formar-la i després sumar-la es recupera la successió inicial, id est, que es tracten d’operacions inverses l’una a l’altra. Aquesta senzilla idea, quan es trasllada al camp de la geometria, condueix al concepte central del càlcul leibnizià, el concepte de diferencial, el qual tingué per ell diferents significats segons l’època.
El [[triangle característic]] té costats [[infinit]]esimalsinfinitesimals <math>dx, dy, ds</math> i verifica la relació <math>ds^2 = dx^2 + dy^2</math>. El costat ds sobre la corba es fa coincidir amb la [[tangent]] de diferencials als que anomenà quocient diferencial. Leibniz mai considerà la [[derivada]] com un [[límit]]. ▼▲Leibniz considerava una corba com un [[polígon]] d’[[infinit]]s costats de longitud [[infinitesimal]]. Amb tal corba, s’associa una [[successió]] d’[[Abscissa (matemàtiques)|abscisses]] <math>x_1, x_2, x_3, x_4, \ldots</math> i una [[successió]] d’[[Ordenada (matemàtiques)|ordenades]] <math>y_1, y_2, y_3, y_4, \ldots</math> on els punts <math>(x_i, y_i)</math> estan tots ells a la corba i componen els [[vèrtexs]] de la poligonal d’[[infinit]]s costats. La diferència entre dos valors successius de <math>x</math> és anomenada ''[[diferencial]] de'' <math>x</math> i es representa per <math>dx</math>, per significat anàleg, té <math>dy</math>. El diferencial <math>dx</math> és una quantitat fixa, no nul·la, [[Infinit|infinitament]] petita en comparació amb <math>x</math>, de fet, és una quantitat [[infinitesimal]]. Els costats del [[polígon]] són representats per <math>ds</math>. Resulta així el [[triangle característic]] de Leibniz, que és el mateix que ja fou considerat per [[Barrow]].
Investigà durant un temps fins a trobar les regles correctes per diferenciar [[productes]] i [[quocient]]s (anomenada llei de Leibniz). Tals regles s’expressens'expressen fàcilment en la seva notació [[diferencial]] com: ▼▲Curiosament, els termes [[abscissa]], [[ordenada]] i [[coordenades]], tan propis de la [[geometria analítica]], no foren utilitzats mai per [[Descartes]], sinó que són deguts a Leibniz; i mentre nosaltres parlem de [[diferencial]]s, ell parlà sempre de diferències.
▲El [[triangle característic]] té costats [[infinit]]esimals <math>dx, dy, ds</math> i verifica la relació <math>ds^2 = dx^2 + dy^2</math>. El costat ds sobre la corba es fa coincidir amb la [[tangent]] de diferencials als que anomenà quocient diferencial. Leibniz mai considerà la [[derivada]] com un [[límit]].
▲Investigà durant un temps fins a trobar les regles correctes per diferenciar [[productes]] i [[quocient]]s (anomenada llei de Leibniz). Tals regles s’expressen fàcilment en la seva notació [[diferencial]] com:
<math>d(xy) = ydx + xdy</math>
<math>d(\frac{x}{y}) = \frac{ydx - xdy}{y^2}</math>
Considerem ara una corba amb una [[successió ]] d’d'[[Ordenada (matemàtiques)|ordenades]] traçades a [[ intervalInterval (matemàtiques)|intervals]] s de longitud unitat. ▼
La suma de les [[Ordenada (matemàtiques)|ordenades]] és una aproximació de la [[quadratura]] de la corba i la diferència entre dues [[Ordenadaordenades (matemàtiques)|ordenades]] successives és aproximadament igual al [[pendent]] de la corresponent [[tangent]]. Com més petita s’escullis'esculli la unitat 1, millor seran les aproximacions. Leibniz raonava que si la unitat pogués ser presa com a [[infinit]]ament petita aquestes aproximacions serien exactes, és a dir, la [[quadratura]] seria igual a la suma de les [[Ordenada (matemàtiques)|ordenades ]] i el [[pendent ]] de la [[tangent ]] seria igual a la diferència de dues [[Ordenada (matemàtiques)|ordenades ]] successives. Com les operacions de prendre diferències i sumar són inverses entre si, va deduir que el càlcul de [[Quadratura|quadratures]] i de [[tangent]]stangents també eren inverses entre elles. ▼▲Considerem ara una corba amb una [[successió]] d’[[Ordenada (matemàtiques)|ordenades]] traçades a [[interval]]s de longitud unitat.
▲La suma de les [[Ordenada (matemàtiques)|ordenades]] és una aproximació de la [[quadratura]] de la corba i la diferència entre dues [[Ordenada (matemàtiques)|ordenades]] successives és aproximadament igual al [[pendent]] de la corresponent [[tangent]]. Com més petita s’esculli la unitat 1, millor seran les aproximacions. Leibniz raonava que si la unitat pogués ser presa com a [[infinit]]ament petita aquestes aproximacions serien exactes, és a dir, la [[quadratura]] seria igual a la suma de les [[Ordenada (matemàtiques)|ordenades]] i el [[pendent]] de la [[tangent]] seria igual a la diferència de dues [[Ordenada (matemàtiques)|ordenades]] successives. Com les operacions de prendre diferències i sumar són inverses entre si, va deduir que el càlcul de [[Quadratura|quadratures]] i de [[tangent]]s també eren inverses entre elles.
El [[1675]] investiga la possibilitat de formular simbòlicament els problemes de [[quadratura|quadratures]] i introdueix els símbols que actualment utilitzem per a la [[integral]] i la [[diferencial]]. Tanmateix, la notació que usem per a la [[derivada]] li devems'atribueix a [[Lagrange]], del [[segle XVIII]]. La que usem per als [[límit]]s d’d'[[integració]] fou introduïda per [[Jean Baptiste Joseph Fourier]] al primer terç del [[segle XIX]]. Fins i tot el terme [[integral]] és més tardà, ja que Leibniz anomenà ''calculus diferentialis'' ([[càlcul]]sCàlcul diferencial|càlculs de diferències]]) a la part del [[càlcul]] que s’ocupas'ocupa de l’estudil'estudi de [[tangent]]s i ''calculus summatorius'' ([[càlcul]] de sumes) a la que s’ocupas'ocupa de problemes de [[quadratura|quadratures]]. Per ell, la [[integral]] és una suma d’d'[[infinit]]s rectangles [[infinitesimal]]s. Fou en [[1690]] quan [[Johann [[Bernouilli]] suggerí anomenar ''calculus integrallis'' al [[càlcul]] de [[quadratura|quadratures]], d’ond'on deriva l’actuall'actual terme d’d'integral. Cal destacar que no foren els camins del raonament lògic deductiu els seguits per Leibniz per descobrir el [[integralcàlcul infinitesimal]], sinó els de la intuïció, la conjectura, l'estudi de casos particulars i la generalització. Els mateixos camins que segueixen avui en dia els matemàtics actius en els seus treballs d'investigació. Tot i que treballà amb conceptes obscurs i imprecisos, fou capaç de desenvolupar [[Càlcul algorítmic |algorismes de càlcul]] eficaços i de gran poder heurístic.<ref>{{Ref-llibre|cognom = Dorce Polo|nom = Carles|títol = Història de la matemàtica. Des del segle XVII fins a l'inici de l'època contemporània| editorial = }}</ref><ref>{{Ref-llibre|cognom = Dunhan|nom = William|títol = The Calculus gallery: masterpicies from Newton to Lebesgue }}</ref>
Cal destacar que no foren els camins del raonament lògic deductiu els seguits per Leibniz per descobrir el [[càlcul infinitesimal]], sinó els de la intuïció, la conjectura, l’estudi de casos particulars i la generalització. Els mateixos camins que segueixen avui en dia els matemàtics actius en els seus treballs d’investigació. Tot i que treballà amb conceptes obscurs i imprecisos, fou capaç de desenvolupar [[algorisme]]s de [[càlcul]] eficaços i de gran poder heurístic.<ref>{{Ref-llibre|cognom = Dorce Polo|nom = Carles|títol = Història de la matemàtica. Des del segle XVII fins a l'inici de l'època contemporània|url = |edició = |llengua = |data = |editorial = |lloc = |pàgines = |isbn = }}</ref><ref>{{Ref-llibre|cognom = Dunhan|nom = William|títol = The Calculus gallery: masterpicies from Newton to Lebesgue|url = |edició = |llengua = |data = |editorial = |lloc = |pàgines = |isbn = }}</ref>
El [[1711]], [[John Keill]], escrivint a la revista de la [[Royal Society]] i amb el presumpte beneplàcit de [[Newton]], va acusar Leibniz d'haver plagiat el [[càlcul]] de [[Newton]]. Així va començar la controvèrsia sobre la "prioritat del [[càlcul]]", que va enfosquir la resta de la vida de Leibniz. La [[Royal Society]] va dur a terme una investigació formal (en la que [[Newton]] va prendre part encobertament), per donar resposta a una demanda de retracció feta per Leibniz; i va mantenir les tesis de [[John Keill|Keill]]. Des del [[1900]] aproximadament, els historiadors de les matemàtiques tendeixen a absoldre Leibniz de plagi, ja que troben importants diferències entre les versions del [[càlcul infinitesimal]] de Leibniz i Newton.{{text imprecís|data=abril de 2013}}
=== Topologia ===
| 