Moviment harmònic simple: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Línia 159:
{{Caixa desplegable|títol= |contingut= <div align="left">
Podem escriure la segona equació com:
<math>\frac{c_1}{c_2}=\tan(\phi_0)\Longrightarrow c_1=c_2\tan(\phi_0)\Longrightarrow c_1^2=c_2^2\frac{\sin^2(\phi_0)}{\cos^2(\phi_0)}</math>
Substituïnt a la primera equació tenim
<math>A=\sqrt{c_2^2\bigg(1+\frac{\sin^2(\phi_0)}{\cos^2(\phi_0)}\bigg)}=c_2\sqrt{\frac{\cos^2(\phi_0)+\sin^2(\phi_0)}{\cos^2(\phi_0)} }=\frac{c_2}{\cos(\phi_0)}\Longrightarrow c_2=A\cos(\phi_0)</math>
Trobem <math>c_1</math> a partir de l'equació anterior
<math>c_1=\sqrt{c_2^2\frac{\sin^2(\phi_0)}{\cos^2(\phi_0)} }= \sqrt{A^2\cos^2(\phi_0)\frac{\sin^2(\phi_0)}{\cos^2(\phi_0)} }=A\sin(\phi_0)</math>
Subtituint a la solució de l'equació diferencial:
<math>x(t)=c_1\cos(\omega t)+c_2\sin(\omega t)=A\sin(\phi_0)\cos(\omega t)+A\cos(\phi_0)\sin(\omega t)=A[\sin(\phi_0)\cos(\omega t)+\cos(\phi_0)\sin(\omega t)]</math>
Fem servir la seguent identitat trigonomètrica:
<math>\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)</math>
I el resultat queda
<math>x(t)=A\sin(\phi_0+\omega t)</math>
</div>
| |||