Diferència entre revisions de la pàgina «Funció bijectiva»

Desfets els canvis en la revisió 1735241 de 83.36.162.127 Correcció anònima no pertinent
(Desfets els canvis en la revisió 1735241 de 83.36.162.127 Correcció anònima no pertinent)
En [[matemàtiques]], una '''bijecció''', o una '''funció bijectiva''' és una [[funció (matemàtiques)|funció]] ''f'' de un [[conjunt]] ''X'' a un conjunt ''Y'' amb la propietat de que, per a cada ''y'' de ''Y'', hi ha exactament un ''x'' de ''X'' tal que <br> ''f''(''x'') = ''y''.
 
O bé, ''f'' es bijectiva si és una correspondència tal que totestots lesels imatgeselements del conjunt origen tenen antiimatgeimatge, és a dir és una ''' ([[funció injectiva]]) i al mateix temps tots els elements del conjunt imatge són imatge d'algund’algun element del conjunt origen és a dir és una ([[funció suprajectiva]]).
 
Per exemple, consideris la funció successor, definida a partir del conjunt dels [[Nombre enter|Enters]] de <math>\Z</math> en <math>\Z</math>, de forma que a cada enter ''x'' li fa correspondre l'enterl’enter successor(''x'') = x + 1. Un altre exemple pot ser la funció sumdif que a cada parella (''x'',''y'') de nombres reals els associa a la parella sumdif(''x'',''y'') = (''x''&nbsp;+&nbsp;''y'', ''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''y'').
 
De una funció bijectiva també se'nse’n diu una '''[[permutació]]'''. Tot i que això es fa servir més habitualment quant ''X'' = ''Y''. El conjunt de totes les bijeccions de ''X'' en ''Y'' es denota com a ''X''<math>{}\leftrightarrow{}</math>''Y''.
 
Les funcions bijectives juguen un paper fonamental en moltes àrees de les matempatiques, per exemple en la definició de [[isomorfisme]]s (i conceptes relacionats com els [[homeomorfisme]]s i els [[difeomorfisme]]s), [[grup de permutacions]], [[aplicació projectiva]],i molts altres.
 
==Bijeccions i cardinalitat==
Si ''X'' i ''Y'' són conjunts [[conjunt finit|finits]], llavors hi ha una bijecció entre els dos conjunts ''X'' i ''Y'' [[si i només si]] ''X'' i ''Y'' tenen el mateix nombre d'elementsd’elements. De fet, en la [[teoria axiomàtica de conjunts]], això es pren com a la autèntica ''definició'' de "mateix nombre d'elementsd’elements", i generalitzant aquesta definició al cas de conjunts [[infinit]]s porta al concepte de [[nombre cardinal]], una forma de distingir les diferents grandàries dels [[conjunts infinits]].
 
==Exemples i contraexemples==
== Propietats ==
* Una funció ''f'' de la [[línia real]] '''R''' en '''R''' és bijectiva si i només si la seva gràfica és intersecada per qualsevol línia horitzontal exactament en un únic punt.
* Si ''X'' és un conjunt, llavors les funcions bijectives de ''X'' en si mateix, juntament amb l'operaciól’operació de composició de funcions (<sup><small>o</small></sup>), formen un [[grup (matemàtiques)|grup]], el [[grup simètric]] de ''X'', el qual es denota com a S(''X''), ''S''<sub>''X''</sub>, o ''X''! (la última notació es llegeix "''X'' [[factorial]]").
* Per a un subconjunt ''A'' of del domini i un subconjunt ''B'' del codomini es té:
:|''f''(''A'')| = |''A''| i |''f''<sup>&minus;1</sup>(''B'')| = |''B''|.
:# ''f'' is suprajectiva.
:# ''f'' is injectiva.
*Com a mínim per a qualsevol conjunt finit ''S'', hi ha una bijecció entre el conjunt de totes les possibles [[ordenacions totals]] dels seus elements i el conjunt de totes les bijeccions de ''S'' en ''S''. Això és el mateix que dir que el nombre de [[permutacions]] (un altre nom per a referir-se a les bijeccions) dels elements de ''S'' és el mateix que el nombre de ordenacions totals d'aquestd’aquest conjunt --anomenat, ''n!''.
 
 
6.734

modificacions