Viquipèdia

Equació: diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
m Revertides les edicions de 88.8.84.119. Si penseu que és un error, deixeu un missatge a la meva discussió.
#QQ16
Línia 16:
{{Principal|Incògnita}}
{| width=100% class="wikitable"
|+ L'exemple següent s'ha tret<ref>The algebra of Mohammed ben Musa. Edited and translated by Frederic Rosen (1831)[http://www.archive.org/stream/algebraofmohamme00khuwuoft#page/n9/mode/2up Llegir-lo online], pàg. 104</ref> del llibre d'de [[AlMuhàmmad ibn Mussa al-KhwarizmiKhwarazmí]], un dels fundadors de l'àlgebra:
|{{Cita|Un home mor i deixa quatre fills i fa una donació a un home igual a la part d'un dels seus fills i a un altre el quart del que queda. Si ''x'' designa la incògnita, aquí la fracció de l'herència que rep cada un dels fills, la pregunta es tradueix en l'equació següent, on el valor 1 a la dreta designa l'herència:
<center><math>(1)\quad 4x + x + \frac 14(1-x) = 1</math></center>}}
Línia 154:
Històricament, les primeres equacions que es formalitzen són de naturalesa aritmètica i daten del [[segle III]].<ref>Pel que fa a això vegeu: [http://irem.univ-poitiers.fr/irem/publicat/brochure/histoire_des_symboles/HIST_SYMB_p27-30.pdf La première inconnue] per l'IREM de Poitiers p 27</ref> Si se cerca com a solució d'una equació, no un nombre qualsevol, sinó un [[nombre enter]] i si l'equació és de coeficients enters, es parla d'''equació diofàntica''.<ref> Aquest terme és freqüent, es troba per exemple a: [[Jean Dieudonné|J. Dieudonné]] P. Dugac ''Abrégé d'histoire des mathématiques, 1700-1900'' Hermann (édition de 1996) {{ISBN|2705660240}} pàg. 227 a l'edició de 1986</ref> Els mètodes descrits anteriorment, generalment, són insuficients per a resoldre les equacions diofàntiques; per fer-ho, són indispensables les eines procedents de l'[[aritmètica]], o almenys de l'[[aritmètica elemental]]. Un exemple relativament simple<ref>D. Richard ''[http://laic.u-clermont1.fr/~richard/algo-euclide.pdf Algorithme d'Euclide et équation diophantienne]'' Université de Clermont1</ref> n'és l'equació lineal amb dues desconegudes [[Equació diofàntica ax+by = c|''a.x''&nbsp;+&nbsp;''b.y''&nbsp;=&nbsp;''c'']].
 
Si el [[grauequació (matemàtiques)polinòmica|grau]] de l'equació augmenta, la qüestió es fa molt més complexa. Ni tan sols una equació de grau 2, en general, no és simple (vegeu per exemple el [[teorema dels dos quadrats de Fermat]] o l'[[equació de Pell|equació de Pell-Fermat]]). A condició d'afegir altres mètodes, com el del [[mètode del descens infinit|descens infinit]] i nous resultats com el [[petit teorema de Fermat]], és possible resoldre'n alguns casos particulars. El cas general de l'equació de grau 2 demana l'ús d'eines més sofisticades, com les de la [[teoria algebraica de nombres]]. Els conjunts de nombres s'enriqueixen, es fan servir els [[cos finit|cossos finits]] i els [[enter algebraic|enters algebraics]], que s'estudien, com per a l'equació algebraica, amb l'ajuda de la [[teoria de Galois]]. Si bé l'[[equació de segon grau|equació algebraica de grau 2]] va ser essencialment resolta per [[AlMuhàmmad ibn Mussa al-KhwarizmiKhwarazmí]], un matemàtic àrab del segle VIII, i [[Savasorda]], un matemàtic català del [[segle XII]], en va donar la solució completa, cal esperar la fi del [[segle XIX]] perquè [[David Hilbert]] obtingui el seu equivalent diofàntic.<ref group="Nota"> Per tractar tots els casos cal un llibre de no menys de 350 pàgines: D. A. Cox ''Primes of the Form ''x''<sup>2</sup>+''ny''<sup>2</sup>'' Wiley-Interscience 1989 {{ISBN|0471506540}}</ref> L'estudi de les equacions diofàntiques, sovint, és prou complex per a limitar-lo a establir l'existència de solucions i, si n'existeixen, a determinar-ne el nombre.
 
Un vast àmbit d'aplicació de les equacions diofàntiques és la informàtica. Les eines procedents dels seus estudis permeten dissenyar [[codi corrector|codis correctors]] i són la base d'algorismes de [[criptografia]]. Hi ha equacions diofàntiques que s'escriuen de manera simple, però que demanen temps de tractament prohibitius per resoldre-les, són la base dels [[criptografia de clau pública|codis secrets]]. Per exemple, l'equació ''n''&nbsp;=&nbsp;''x·y'', en què ''n'' és un [[nombre natural]] fixat i en què ''x'' i ''y'' són les desconegudes, no és resoluble en la pràctica, si ''n'' és el producte de dos [[nombre primer|nombres primers]] prou grans. Aquesta equació és la base del codi [[RSA]].<ref>R. Rivest A. Shamir L. Adleman ''[http://theory.lcs.mit.edu/~rivest/rsapaper.pdf A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems]'' Communications of the ACM, Vol. 21 (2), pp 120–126 (1978)</ref>
 
=== Nombre algebraic i transcendent ===
{{Principal|Nombre algebraic|Nombrenombre transcendent}}
[[Fitxer:Carl Louis Ferdinand von Lindemann.jpg|thumb|[[Ferdinand von Lindemann|Lindemann]] demostra que cap [[equació polinòmica]] amb [[coeficient]]s [[nombre enter|enters]] no admet [[pi (nombre)|π]] com a arrel]]
En lloc de preguntar-se quins nombres són solucions d'una equació donada, es pot considerar el problema invers: de quines equacions un nombre donat n'és solució? Un nombre s'anomena [[nombre racional|''racional'']] si és solució d'una [[equació de primer grau]] amb [[coeficient]]s [[nombre enter|enters]]. S'anomena [[nombre algebraic|''algebraic'']] si és solució d'una [[equació polinòmica]] amb coeficients enters. Si no és algebraic, s'anomena [[nombre transcendent|''transcendent'']]. Així, per a un nombre donat, l'objectiu és trobar les eventuals equacions polinòmiques de les quals aquest nombre és arrel (vegeu l'article [[Polinomi mínim d'un nombre algebraic]]).
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Equació»