Demostració de l'últim teorema de Fermat: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m èsim |
m Robot treu tags que no fan res |
||
Línia 57:
Sobre un anell tal, corresponen per exemple al dels [[Polinomi|polinomis]] de coeficients [[Nombre complex|complexes]], [[Augustin Louis Cauchy]] va elaborar un mètode general de resolució.
La dificultat rau en el fet que ℤ no constitueix cap [[Arrel de la unitat|arrel ''n''-èsima de la unitat]] exceptuant 1 i -1. L'ús d'altres anells que continguin ℤ esdevé interessant. Els més simples corresponen a conjunts ℤ[ω] d'enters quadràtics és a dir de nombres de la forma ''a'' + ''b''ω en què ''a'' i ''b'' són enters relatius i ω és un nombre complex tal que ω<sup>2</sup> és [[Combinació lineal|combinació lineal]] de ω i d'1 amb coeficients dins de ℤ, cosa que assegura l'estabilitat del conjunt. Alguns d'aquest conjunts contenen arrels ''n''-èsimes de la unitat. Tal és el que si ω és l'arrel cúbica de la unitat <span class="texhtml" contenteditable="false">j</span> = (1 + <span class="texhtml" contenteditable="false">i</span><span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3
L'eficàcia dels anells quadràtics s'atura aquí. En el cas general, no són ni euclidians ni factorials, cosa que imposa l'elaboració d'altres idees.
Línia 65:
S'intenta aquí resoldre l'equació :<center class=""><math> x^n + y^n = z^n\;</math></center>Aquí ''x'', ''y'' i ''z'' representen tres polinomis de coeficients complexos. Per les raons indicades en l'anterior paràgraf, aquesta quëstió és finalment molt més fàcil que la de Fermat. Va ser resolta el 1847 per [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]<ref>A. L. Cauchy, ''[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90190w/f247 Mémoire sur de nouvelles formules relatives à la théorie des polynômes radicaux, et sur le dernier théorème de Fermat], [[Comptes rendus de l'Académie des sciences|Comptes rendus de l'Académie]]'' t. </ref> després de la resolució dels casos de ''n'' = 3, 5 i 7 i abans del gran avanç de [[Ernst Kummer]]. El resultat s'anuncia de la manera següent :
:* ''Siguin p, q, r tres polinomis de coeficients complexes i n un enter estrictament més gran que ''2'', si p<sup>n</sup> + q<sup>n</sup> = r<sup>n</sup> i si p i q són coprimers, llavors els tres polinomis p, q i r són constants.''
Dos polinomis complexes són primers entre si si i només si, els únics polinomis que els divideixen són constants. Aquesta resolució és més simple que els tres casos precedents perquè la complexitat dels càlculs és menor. El procediment és tanmateix molt similar. Els polinomis de coeficients complexes formen un anell commutatiu unitari i íntegre amb divisió euclidiana. Un procediment de naturalesa [[aritmètica]] és doncs possible. Existeix un equivalent a la noció de nombre primer, la del polinomi irreductible (és a dir no constant i divisible únicament per ell mateix i per 1, a la multiplicació per un nombre complex proper) i unitari (és a dir amb coeficient del terme de grau més elevat igual a 1). S'aplica el [[teorema fonamental de l'aritmètica]], és a dir que existeix una descomposició en factors primers, així com la [[identitat de Bézout]] o el [[lema d'Euclides]]. Les
La demostració és aquí molt simplificada pel fet que dins de l'anell dels polinomis de coeficients complexes, tot element inversible (és a dir tot polinomi constant no nul) admet una arrel ''n''-èsima.
Línia 72:
El cas ''n'' = 3 és més complex.<ref>{{Dickson1}}, vol. 2, <span class="citation not_fr_quote" lang="en">« <span class="italique">Impossibility of <span class="texhtml">x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup></span></span> »</span>, [https://books.google.fr/books?id=9LQqAwAAQBAJ&pg=PA548 <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 545-550].</ref> [[Leonhard Euler|Euler]] va escriure a [[Christian Goldbach|Goldbach]] el [[1753]], indicant-lo que l'havia resolt. L'única prova que va publicar, el 1770 en el seu ''Algebra'', és tanmateix incomplet,<ref><span class="citation not_fr_quote" lang="en">« <span class="italique">The most common statement is that Euler did give a proof of the case n = 3 of Fermat's Last Theorem but that his proof was “incomplete” in an important respect. </span></span></ref> per un punt crucial. Euler és força confús en aquest indret, però sembla que l'argument que utilitza implícitament sigui erroni, i no en va tornar a parlar més tard.<ref name="Edwards44">{{Harvsp|Edwards|2000|p=44-45}}</ref> Tanmateix la demostració, si bé no és fàcil de corregir, usa mètodes que Euler havia usat per altres proposicions de Fermat.<ref>{{Harvsp|Edwards|2000|p=39-40}}</ref> És igual de possible que Euler tingués el 1753 una demostració correcta, ja que hagués volgut utilitzar posteriorment un argument més elegant, usant els [[Nombre complex|nombres complexes]] descrit a continuació.<ref name="Edwards44">{{Harvsp|Edwards|2000|p=44-45}}</ref><ref name="MacTutorFLT">{{MacTutor|class=~history/HistTopics|id=Fermat's_last_theorem|title=Fermat's last theorem}}</ref>
Per a aquesta demostració, estudia els nombres els cubs dels quals té la forma ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> amb ''p'' i ''q'' primers entre si. Per això, utilitza un mètode original per l'època : descompon ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> = (''p'' + {{Math|i}}<span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3
[[Carl Friedrich Gauß|Gauss]] va demostrar (en una publicació pòstuma<ref><span class="ouvrage"><span class="indicateur-langue">(<abbr class="abbr" title="Langue : allemand">de</abbr>)</span> <cite lang="de" style="font-style:normal">« Neue Theorie der Zerlegung der Cuben »</cite>, dans C. F. Gauss, <cite class="italique" lang="de">Werke</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> </span></ref>) per [[Mètode del descens infinit|descens infinit]] com Euler però correctament i de manera més simple i raonant amb [[Enter d'Eisenstein|l'anell ℤ[
L'anell ℤ[j] és [[Anell factorial|factorial]] — contràriament al sub-anell ℤ[2j] = ℤ[i√3] — és-a-dir que en aquest anell, la décomposition en irréductibles és única. En efecte, es demostra dins de ℤ[j] l'equivalent del lema d'Euclides, a saber que tot irreductible és un element primer, anomenat nombre primer de Eisenstein. La utilització d'anells d'enters algebraics ben escollits és una de les tècniques més importanta del segle XIX per a la resolució del teorema per certs exponents. Quan no són factorials, s'han d'usar altres tècniques.
Línia 88:
El teorema de Fermat esdevé llavors famós. Tots els esforços es basen en el cas en què n és igual a 5. En aquest cas, cal demostrar que no existeix cap terna (x, y, ''z'') d'enters no nuls i primers entre ells tal que x5 + y5 = z5. Si n'existeix, un i només un dels tres enters és evidentment parell però també, segons el teorema de Sophie Germain, un i només un dels tres és divisibles per 5. S'ha de distingir doncs, entre dos casos, segons si la mateixa x, y o ''z'' sigui divisible per 2 i 5 o no. No obstant això, malgrat la implicació de nombrosos membres de la comunitat matemàtica, van passar més de quinze anys sense cap progrés remarcable. El 1825, [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Lejeune Dirichlet]] esdevé immediatament cèlebre, resolent el primer cas.
El juliol de 1825, [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Lejeune Dirichlet]] sotmet a l'Acadèmia de les ciències una demostració incompleta del cas n=5, que completa el novembre mitjançant un mètode enterament anàleg, en constatar que mentrestant [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]], un dels seus dos ponents ha publicat una altra demostració completa, utilitzant les mateixes tècniques<ref name="PV">[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3301m/f309.image.r=Legendre Procès verbal de la séance du 14/11/1825] de l'Académie.</ref><ref>{{Ref-publicació|prénom1=G.|nom1=Lejeune Dirichlet|titre=Mémoire sur l'impossibilité de quelques équations indéterminées du cinquième degré|sous-titre=lu à l'Académie royale des sciences (Institut de France), le 11 juillet 1825, par l'auteur|revue=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. reine angew. Math.]]|vol=3|année=1828|p.=354-375|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN243919689_0003&DMDID=dmdlog41&LOGID=log41&PHYSID=phys367}}</ref><ref name="PV">[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3301m/f309.image.r=Legendre Procès verbal de la séance du 14/11/1825] de l'Académie.</ref><ref
Les dues demostracions utilitzen tècniques semblants a la del cas n = 3. Es fonamenten també en les propietats de divisibilitat d'un anell d'enters ben escollit. Aquest cop, però, contràriament al cas en què n = 3, l'anell considerat és l'anell d'un dels enters d'un cos quadrpatic real: el sub-cos quadràtic del cinquè cos ciclomàtic ℚ(√5). L'estructura del [[Element invertible|grup de les unitats]] a causa d'aquest fet, més complex. La seva comprenció torna a l'anàlisi d'una altra equació diofàntica anomenada [[Equació de Pell|de Pell-Fermat]], estudiada per [[Leonhard Euler|Euler.]] Els treballs de [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] sobre les [[Fracció contínua|fraccions contínues]] proporcionen les eines necessàries per a l'euclidiació d'aquesta estructura. Aquest anell dels enters de ℚ(√5) permet establir el lema clau en la demostració.
| |||