Sistema d'equacions: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m →Representació gràfica: typo |
m →Classificació dels sistemes: errors gramaticals i ortogràfics |
||
Línia 14:
=== Classificació dels sistemes ===
Un sistema d'equacions sobre <math> \R^n </math> pot classificar d'acord amb el nombre de solucions
* '''Sistema incompatible''' quan no admet cap solució. Un exemple de sistema incompatible és <math> \{54x-36y = 9,-54x+36y = 30 \}</math>, ja que utilitzar el mètode reducció i sumant membre a membre s'obté la contradicció 0 = 39.
* '''Sistema compatible''' quan admet alguna solució que al seu torn poden dividir-se en:
** Sistemes compatibles '''indeterminats''' quan hi ha un nombre infinit de solucions que formen una [[varietat diferenciable|varietat contínua]]. Un exemple de sistema compatible indeterminat és <math> \{x 'y = 1, 2x+2y = 2 \}</math>, ja que
** Sistemes compatibles '''determinats''' quan admeten un conjunt finit de solucions, o un conjunt infinit de solucions aïllades amb com a màxim un nombre finit de [[punt d'acumulació|punts d'acumulació]]. Un exemple de sistema
== Sistema lineal ==
{{AP|Sistema d'equacions lineals}}
Un sistema
Una característica important dels sistemes lineals d'equacions és que admeten l'anomenada forma matricial. Aquesta forma permet representar el sistema usant tres [[matriu (matemàtiques)|matrius]], de la següent manera:
Línia 51:
La primera és la matriu de coeficients, on el terme <math> a_{ij}\, </math> representa el coeficient que acompanya la j-èsima incògnita de l'equació i-èsima. La segona és la matriu d'incògnites, on cada terme es correspon amb una de les <math> I \, </math> incògnites que volem esbrinar. I la tercera matriu és la de termes independents, on el cada <math> b_i \, </math> representa el terme independent de l'equació i-èsima.
Aquesta representació matricial facilita l'ús d'alguns mètodes de resolució, com el [[eliminació de Gauss-Jordan|mètode de Gauss]], en el qual, partint de la [[matriu augmentada]] (matriu de coeficients a què se li ha acoblat la matriu de termes independents), i aplicant transformacions lineals sobre les equacions,
{{Equació|<math>
\begin{pmatrix}
Línia 63:
== Existència de solucions ==
El [[teorema de la funció inversa]] proporciona [[Condició necessària i suficient|condicions suficients]] d'existència de solució, d'un sistema com {{eqnref|1}} amb <math> m = n \, </math>. Si succeeix que la funció vectorial:
{{Equació|
<math> \mathbf{F}: \R^n \longrightarrow \R^n, \qquad
(X_1, \dots, x_n) \mapsto (F_1 (x_1, \dots, x_n), \dots, F_n (x_1, \dots, x_n)) </math>
||Left}}
És diferenciable amb continuïtat, és a dir, és de classe <math> C^1 (\R^n) </math> i el seu [[jacobià]] no s'anul·la en cap punt llavors hi ha una única solució del sistema {{eqnref|1}}
{{Equació|
<math> (x_1, \dots, x_n) = \mathbf{F}^{-1}(\mathbf{0}) </math>
||Left}}
No obstant això, la condició de diferenciabilitat anterior tot i ser condició suficient, no és una condició necessària, pel que existeixen sistemes d'equacions en què les funcions <math> f_i \, </math> no són diferenciables i no obstant això, hi ha solucions. Més encara, en casos en què hi ha més d'una solució si la funció és diferenciable llavors el jacobià s'anul·la en algun punt, però això no impedeix que hi hagi diverses solucions.
En casos d'un menor nombre d'equacions que d'incògnites, quan <math> m <n \, </math>, aleshores el sistema és compatible indeterminat o no té solucions. En aquests casos, el [[teorema de la funció implícita]] proporciona condicions suficients, encara que no necessàries, per a l'existència de solucions d'una manera semblant a com el teorema de la funció inversa les proporciona en el cas <math> m = n \, </math>.
| |||