Espai mètric: diferència entre les revisions

És a dir, la bola oberta de radi <math>r</math> centrada en <math>p</math> conté tots els punts <math>x\in X</math> tals que la seva distància al punt <math>p</math>és menor que <math>r</math>.

 

# <math>B_r(p)\not= \emptyset</math>

# Sigui <math>q \in B_{r}(p)</math>. Aleshores, <math>\exists s\in \reals^+ \ | \ B_s(q) \sube B_r(p)</math>. Dit d'altra manera, donat un punt qualsevol <math> q</math> de la bola oberta <math>B_r(p)</math>, és possible trobar un radi <math>s</math> prou petit tal que la bola oberta <math>B_s(q)</math> està continguda en <math>B_r(p)</math>.

# Siguin <math>B_r(p)</math> i <math>B_s(q)</math> tals que <math>B_{r}(p) \cap B_{s}(q) \not= \emptyset </math>, i sigui <math>z\in{\displaystyle B_{r}(p)} \cap {\displaystyle B_{s}(q)} </math> qualsevol. Aleshores, <math>\exists t>0 \ | \ B_t(z) \sube B_r(p) \cap B_s(q) </math>. En altres paraules, donades dues boles amb intersecció no buida, és possible prendre un punt <math> z</math> de la intersecció i trobar un radi <math>t</math> prou petit per a que la bola oberta <math> B_t(z)</math> també està continguda en la intersecció de les altres dues.

 

# Qualsevol bola oberta conté el seu centre <math>p</math>.

# Sigui <math>\delta = d(x,y)</math> i prenem <math>s = r - \delta</math>. Si <math>z \in B_s(q)</math>, es dedueix de la desigualtat triangular que <math>d(p,z) \le d(p,q) + d(q,z) < \delta + s = r </math> . Així doncs, la distància entre qualsevol <math>z\in B_s(q) </math> i el punt <math>p</math> és menor que <math>r</math>, i per tant <math>z \in B_r(p)</math>.