Espai mètric: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
mCap resum de modificació |
tancats |
||
Línia 76:
=== Oberts ===
Sigui <math>(X, d)</math> un espai mètric i <math>U \sube X</math> un subconjunt <math>X</math>. Diem que <math>U</math> és un [[Obert (matemàtiques)|'''obert''']] de <math>X</math> si, per a tot <math>x \in U</math> existeix <math>r \in \reals ^+</math> tal que <math>B_r(x) \sube U</math>. Alternativament, <math>U</math> és un obert si és entorn de tots els seus punts. Un [[Conjunt tancat|'''conjunt tancat''']] és un conjunt tal que el seu complementari és obert.
==== Propietats dels oberts ====
# <math>\empty, X </math> són oberts
#
#
==== Demostració de les propietats ====
Línia 89:
Cal notar que en la demostració de la propietat 3, la finitud de la famíia d'oberts es demana per a assegurar l'existència del mínim dels radis. Un contraexemple fàcil és prendre com a conjunt els nombres reals dotat amb la distància euclidiana, i com a família infinita d'oberts <math>\{(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})\}_{n\in \mathbb{N}}</math>. Aleshores, la intersecció <math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}}(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = \{ 0\}</math> no és un obert.
====
Són fàcils de demostrar, ja que només cal fer el pas al complementari.
Quan es generalitza el concepte d'espai mètric a espai topològic, serà un conjunt de subconjunts de <math>X</math> anomenat '''topologia''', al que se li demana complir les tres propietats anteriors, el que dotarà d'estructura el conjunt <math>X</math>. Als elements de la topologia se'ls anomenarà, igualment, oberts, ja que per als espais topològics metritzables coincidiran amb els oberts de l'espai mètric respectiu. ▼
# <math>\empty, X </math> són tancats.
# Sigui <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> una família finita de tancats. Aleshores, <math>\bigcup_{i\in I} F_i</math> és un tancat.
# Sigui <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> una família arbitrària de tancats. Aleshores, <math>\bigcap_{i\in I} U_i</math> és un tancat.
==== Oberts (o tancats) en espais topològics ====
▲Quan es generalitza el concepte d'espai mètric a espai topològic, serà un conjunt de subconjunts de <math>X</math> anomenat '''topologia''', al que se li demana complir les tres propietats anteriors, el que dotarà d'estructura el conjunt <math>X</math>. Als elements de la topologia se'ls anomenarà, igualment, oberts (o tancats), ja que per als espais topològics metritzables coincidiran amb els oberts (o tancats) de l'espai mètric respectiu.
=== Aplicacions continues ===
| |||