Sèrie de Taylor: diferència entre les revisions

En [[matemàtiques]], i més específicament en [[càlcul infinitesimal]], la '''sèrie de Taylor''' és una representació d'una [[funció matemàtica|funció]] com una [[sèrie (matemàtiques)|suma infinita]] de termes calculats a partir dels valors de les [[derivada|derivades]] de la funció en un punt concret. Més concretament, si ''<math>f''</math> és una funció de variable real, infinitament diferenciable en el veïnat d'un punt ''<math>a''</math>, aleshores la seva sèrie de Taylor centrada en ''a'' és la [[sèrie de potències]] següent:

</math>.

El concepte de sèrie de Taylor va ser introduït formalment pel matemàtic anglès [[Brook Taylor]] l'any 1715. Quan la sèrie de Taylor està centrada al zero, llavors també s'anomena '''sèrie de Maclaurin''', en honor al matemàtic escocès [[Colin Maclaurin]], qui féu un ús extensiu d'aquest cas especial de la sèrie de Taylor al segles. <small>XVIII</small>.

Encara que una funció sigui infinitament diferenciable en un veïnat de&nbsp;''a'', pot passar que la seva sèrie de Taylor tingui [[radi de convergència]] zero, la qual cosa significa que la sèrie no es pot avaluar en cap punt diferent de&nbsp;''<math>a</math>''. També pot passar que el radi de convergència sigui més gran que zero, però que la sèrie no coincideixi amb la funció en cap punt diferent de&nbsp;''a''. Una funció que és igual a la seva sèrie de Taylor en un cert domini s'anomena [[funció analítica]].

La sèrie de Taylor d'una funció [[funció real|real]] o [[Anàlisi complexa|complexa]] ''ƒ''<math>f(''x'')</math> que sigui [[funció infinitament diferenciable|infinitament diferenciable]] en un [[veïnat (matemàtiques)|veïnat]] d'un [[nombre]] ([[nombre real|real]] o [[nombre complex|complex]]) ''a'' és la [[sèrie de potències]] següent:<ref name="mathworld">{{MathWorld| urlname= TaylorSeries| title= Taylor Series}}</ref>

on ''<math>n''!</math> denota el [[factorial]] de ''<math>n''</math> i ''ƒ''<supmath>f^{(''n'')}(a)</supmath>(''a'') denota la [[derivada]] ''<math>n''</math>-èsima de ''ƒ''<math>f</math> avaluada en el punt ''<math>a''</math>. S'entén que la derivada d'ordre zero de ''ƒ<math>f</math>'' és la pròpia ''ƒ<math>f</math>'', i {{nowrap|<math>(''x'' − ''-a'')<sup>^0</supmath>}} i <math>0!</math> valen, ambdós,&nbsp;1. En el cas que {{nowrap|''<math>a'' {{=}} 0}}</math>, la sèrie també s'anomena sèrie de MaclaurinMacLaurin.

El concepte de sèrie de Taylor, i de sèrie de potències, està estratament lligat al de [[sèrie (matemàtiques)|sèrie]] numèrica. El problema de la suma d'una sèrie infinita de nombres ja fou estudiat al s. <small>V</small> aC a l'antiga Grècia, però no fou fins al s. <small>III</small> aC quan [[Arquimedes]] donà un primer mètode de suma, el [[mètode d'exhaustió]].<ref>Kline, M. (1990) ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times''. Oxford University Press. pp. 35-37.</ref> Els primers desenvolupaments en sèrie de potències podrien ser deguts al matemàtic indi [[Madhava de Sangamagrama]] (c. 1340–1425), fundador de l'[[Madhava de Sangamagrama#L'escola de Kerala|Escola de Kerala]], que obtingué les sèries de potències d'algunes [[funció trigonomètrica|funcions trigonomètriques]]: sinus, cosinus i arc tangent.<ref name="Roy">{{ref-llibre|cognom=Roy

Aquestes sèries foren redescobertes força més tard, al s. <small>XVII</small>, per [[Isaac Newton]] i [[James Gregory]], mentre que Johannes Hudde i [[Nicolaus Mercator]] obtingueren la sèrie de Taylor del logaritme.<ref>{{ref-llibre|cognom=Roy

La sèrie de Taylor s'anomena en honor seu, i la sèrie de Maclaurin en honor del matemàtic escocès [[Colin Maclaurin]], que publicà el cas especial del resultat de Taylor durant el segles. <small>XVIII</small>.

La sèrie de Maclaurin de la funció {{nowrap|<math>(1 − ''-x'')<sup>−1^{-1}</supmath>}} és la sèrie geomètrica infinita

i la sèrie de Taylor de ''x''<supmath>−1x^{-1}</supmath> centrada en ''<math>a''=1</math> és

Si s'integren aquestes sèries s'obté la sèrie de Taylor de la funció <math>\ln(1−''1-x'')</math>, on <math>\ln</math> denota el [[logaritme natural]]:

i la sèrie de Taylor corresponent per a <math>\ln(''x'')</math> centrada en ''<math>a''=1</math>, que és

La sèrie de Taylor de la [[funció exponencial]] e<supmath>''e^x''</supmath> centrada en ''<math>a''=0</math> és:

El desenvolupament anterior s'obté fàcilment, ja que la derivada de e<supmath>''e^x''</supmath> és e<supmath>''e^x''</supmath>, i e<supmath>e^0</supmath> val&nbsp;1, la qual cosa deixa els termes {{nowrap|<math>(''x'' − -0)<sup>''^n''</supmath>}} al numerador i ''n''<nowikimath>n!</nowikimath> al denominador, per a cada terme de la suma infinita.

Si la funció ''<math>f''(''x'')</math> ve donada per una sèrie de potències convergent en un [[Disc (topologia)|disc]] obert (o [[interval (matemàtiques)|interval]] en la recta real) centrat en ''<math>b</math>'', es diu que la funció és [[funció analítica|analítica]] dins d'aquest disc. Llavors, per una ''<math>x''</math> d'aquest disc, ''<math>f</math>'' ve donada per la sèrie de potències convergent següent:

:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-b)^n</math>.

Diferenciant la fórmula anterior respecte ''<math>x</math>'' ''<math>n''</math> vegades i establint ''<math>x''=''b''</math> s'obté:

:<math>\frac{f^{(n)}(b)}{n!} = a_n</math>.

e^{-\frac{1/}{x^2}}&\mathrm{si}\ x\not=0\\

D'una manera més general, tota seqüència de nombres reals o complexos pot aparèixer com a [[coeficient]]s d'una sèrie de Taylor d'una funció infinitament diferenciable definida en la recta real; això és conseqüència del [[lema de Borel]]. Com a resultat, el [[radi de convergència]] d'una sèrie de Taylor pot ser zero. Fins i tot hi ha funcions infinitament diferenciables definides en la recta real les sèries de Taylor de les quals tenen un radi de convergència nul a tot arreu.<ref>{{ref-llibre | cognom = Rudin | nom = Walter | enllaçautor = Walter Rudin| títol = Real and Complex Analysis | lloc = Nova Dehli | editor = McGraw-Hill | data = 1980 | pàgines = 418, exercici 13 | isbn = 0-07-099557-5}}</ref>

Existeix una generalització de la sèrie de Taylor que convergeix al valor de la mateixa funció per qualsevol [[funció contínua]] [[funció fitada|fitada]] en (0, ∞), fent servir el càlcul de [[diferència finita|diferències finites]].<ref>{{ref-llibre|nom=William|cognom=Feller|enllaçautor=William Feller|títol=An introduction to probability theory and its applications, Volume 2|edició=3a ed.|editorial=Wiley|any=1971|pàgines=230–232}}</ref><ref>{{ref-llibre|nom=Einar|cognom=Hille|enllaçautor=Einar Hille|nom2=Ralph S.|cognom2=Phillips|enllaçautor2=Ralph S. Phillips|títol=Functional analysis and semi-groups|editorial=American Mathematical Society|col·lecció=AMS Colloquium Publications|volum=31|any=1957|pàgines=300–327}}</ref> El següent teorema, enunciat per [[Einar Hille]], postula que per qualsevol ''t''&nbsp;>&nbsp;0,

:<math>f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} e^{-t/h\frac th}\sum_{j=0}^\infty f(a+jh) \frac{\left(t/h\frac th\right)^j}{j!}.</math>

La sèrie de la dreta és el [[esperança matemàtica|valor esperat]] de ''f''(a&nbsp;+&nbsp;''X''), on ''X'' és una [[variable aleatòria]] que segueix la [[distribució de Poisson]] i que pren el valor ''jh'' amb probabilitat ''e''<sup>−''t''/''h''</supmath>\dfrac{\left(''t''/''h''\frac th\right)<sup>''^j''}{e^{\frac th}j!}</supmath>/''j''!. Llavors,

:<math>f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} \int\limits_{-\infty}^\infty f(a+x)dP_{t/h\frac th,h}(x).</math>

:<math>\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n\quad\text{ per } x \not= 1 \,\,\text{ i } m\in\mathbb{N}_0\!</math>

:<math>\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\text{ per }|x| < 1 \,\,\text{ i } m\in\mathbb{N}_0\!</math>

Onon <math>D f(\mathbf{a})\!</math> és el [[gradient (matemàtiques)|gradient]] de <math>\,f</math> avaluat en <math>\mathbf{x} = \mathbf{a}</math> i <math>D^2 f(\mathbf{a})\!</math> és la [[matriu hessiana]]. Si s'aplica la [[notació multiíndex]], la sèrie de Taylor per diverses variables esdevé:

com que {{nowrap|<math>\log(1 + ''y'')}}</math> és analític en <math>|''y''|&nbsp;<&nbsp;1</math>, es té que:

per <math>|''y''|&nbsp;<&nbsp;1</math>.