Diferència entre revisions de la pàgina «Binomi de Newton»

Afegides 3 noves referències. I algunes petites modificacions de detall.
(Sèrie binomial en lloc de funció binomial)
(Afegides 3 noves referències. I algunes petites modificacions de detall.)
 
El '''[[Binomi]] de [[Isaac Newton|Newton]]''' <ref>{{Ref-llibre|cognom=Rade, Lennart; Westergren, Bertil|nom=|títol=Mathematics Handbook for Science and Engineering|url=http://www.springer.com/gp/book/9783540211419|edició=|llengua=|data=|editorial=Springer|lloc=|pàgines=|isbn=ISBN 978-3-662-08549-3}}</ref><ref>{{Ref-llibre|cognom=Bronshtein, I.; Semendiaev, K.|nom=|títol=Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes|url=|edició=|llengua=Castellà|data=1977|editorial=MIR|lloc=Moscú|pàgines=|isbn=}}</ref> o '''teorema del binomi''' és una fórmula que serveix per a calcular la potència <math>n</math> d'un '''binomi''' <math>(a+b)
</math>. És per tant una generalització de les fórmules elementals <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> i <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math>. Aquestes dues formen part del que s'anomenen [[Identitat notable|Identitats notables]], i admeten una demostració gràfica elemental en termes d'àrees de quadrats i rectangles, cubs i paral·lepípedslelepípedes. El cas general, que és pròpiament ell'anomenat Binomi de Newton, utilitza nombres [[combinatòria|combinatoris]], i diu:
 
<math>{(a+b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}, \quad\quad\quad\quad\quad (1)</math>,
 
on el [[coeficient binomial]] <math> {n \choose k}</math> és el nombre combinatori definit així : <math> {n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>, i es llegeix <math>n</math> ''sobre'' <math>k</math>. El conjunt dels coeficients binomials ordenats en fileres amb <math>n</math> creixent de dalt a baix constitueixen l'anomenat [[Triangle de Tartaglia]] o, Triangle de Pascal o Triangle aritmètic.
 
Exemples:
:<math>{n \choose k}</math>
 
Formes diferents de seleccionar els <math>s_i</math> per obtenir els <math>b</math>s (ja que <math>k</math> <math>b</math>s se seleccionen a partir de <math>n</math> <math>s_i</math>), i per tant aquest ha de ser el coeficient per a <math>t</math>.
 
=== Demostració algebraica ===
Per hipòtesi d'inducció se suposa que el teorema és veritat quant l'exponent val ''m''. Llavors per ''n''&nbsp;=&nbsp;''m''&nbsp;+&nbsp;1
 
:<math> (a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,</math><math> = a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j</math>
 
::<math> = a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j</math>
 
Aplicant la propietat distributiva
 
== La sèrie binomial ==
Si escrivim <math>(a+b)^n=a^n(1+\frac{b}{a})^n </math> podem anomenar <math>x=\frac{b}{a}</math> i escriure <math>\alpha</math> en lloc de <math>n</math>. La funció <math>f(x)=(1+x)^\alpha</math>rep el nom de funció binomial, i té sentit també si <math>\alpha</math> és un nombre complex qualsevol. La seva sèrie de Mclaurin té radi de convergència més gran o igual que 1, segons el valor de <math>\alpha</math>, i es coneix com sèrie binomial o expansió binomial<ref>{{Ref-llibre|cognom=M. Abramowitz; I. A. Stegun (eds.)|nom=|títol=Handbook of Mathematical Functions: with formulas, graphs, and mathematical tables|url=people.math.sfu.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf|edició=|llengua=Anglès|data=1970|editorial=Dover|lloc=|pàgines=|isbn=0486612724}}</ref> <ref>{{Ref-llibre|cognom=F.W.J. Oliver, et al. (eds.)|nom=|títol=NIST Handbook of Mathematical functions|url=|edició=|llengua=|data=2010|editorial=Cambridge University Press|lloc=Cambridge|pàgines=|isbn=9780521140638}}</ref>. Aquesta generalitza el Binomi de Newton : <math>(1)</math> <math>\alpha</math> és un nombre natural.
 
<math>\begin{align} (1 + x)^\alpha &= \sum_{k=0}^{\infty} \; {\alpha \choose k} \; x^k = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \cdots, \end{align}</math>
 
on <math>{\alpha \choose k} := \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}</math>, (regla mnemotècnica: hi ha <math>k</math> factors en el numerador i <math>k</math> factors en el denominador)<ref>{{Ref-web|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_series|títol=Binomial Series|consulta=04/07/2017|llengua=Anglès|editor=|data=04/07/2017}}</ref>.
 
== Observacions ==
EnA les demostracions anteriors es veu que és essencial la propietat commutativa <math>ab=ba</math>. Si, per exemple, <math>A</math> i <math>B</math> fossin dues matrius que no commutessin, aleshores tindríem simplement <math>(A+B)^2=A^2+AbAB+BA+B^2</math> o <math>(A+B)^3=A^3+A^2B+ABA+BA^2+AB^2+BAB+B^2A+B^3</math>.
 
El Binomi de Newton és molt útil per al càlcul mental. Per exemple, calcular <math>21^4</math> és molt fàcil si s'escriu com <math>(20+1)^4</math>.
Observi's que la suma dels coeficients binomials del binomi de grau <math>n</math> és igual a <math>2^n</math>i la suma dels coeficients que jauen en els llocs senars coincideix amb la suma dels que jauen en els llocs parells.
 
El terme <math>{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}</math> quan <math>a=1-p</math> i <math>b=1-p</math> és la probabilitat que el nombre d'èxits sigui exactament <math>k</math> en una seqüència de <math>n</math> assaigs independents amb una probabilitat fixa <math>p</math> d'ocurrència de l'èxit entre els assaigs. A aquesta distribució de probabilitat se li dona el nom de [[distribució binomial]].
 
== Història ==
Segons <ref>{{Ref-llibre|cognom=Suzuki|nom=Jeff|títol=Mathematics in Historical Context|url=|edició=|llengua=Anglès|data=|editorial=The Mathematical Association of America|lloc=|pàgines=|isbn=978-0-88385-570-6}}</ref>, p. 226, la primera aparició escrita del teorema del binomi va ser en una carta de Newton a Henry Oldenburg, Secretari de la Royal Society, el 1676. A la mateixa referència, p. 233, es diu que Newton va usar el binomi i la distribució binomial el 1693 per a resoldre un problema sorgit en un joc de daus, per encàrrec de la casa reial de Guillem III.
 
Més referències històriques a l'escrit Potència d'un Binomi, de R. Nolla, esmentat als Enllaços externs.
 
== Vegeu també ==
* [[Triangle de Tartaglia]]
* [[Identitat notable|Identitats notables]]
 
== Enllaços externs ==
[http://www.xtec.cat/~rnolla/apunts/BinomiNewton_ccss.pdf Potència d'un binomi, per R. Nolla]
 
== Bibliografia ==
{{Autoritat}}
 
134

modificacions