Revisió del 18:41, 4 jul 2017 modifica Jsolamr (discussió \| contribucions) 148 edits Sèrie binomial en lloc de funció binomial Etiqueta: editor visual ← Edició anterior		Revisió del 11:31, 5 jul 2017 modifica desfés Jsolamr (discussió \| contribucions) 148 edits Afegides 3 noves referències. I algunes petites modificacions de detall. Etiqueta: editor visual Edició següent →
Línia 3: El '''[[Binomi]] de [[Isaac Newton\|Newton]]''' <ref>{{Ref-llibre\|cognom=Rade, Lennart; Westergren, Bertil\|nom=\|títol=Mathematics Handbook for Science and Engineering\|url=http://www.springer.com/gp/book/9783540211419\|edició=\|llengua=\|data=\|editorial=Springer\|lloc=\|pàgines=\|isbn=ISBN 978-3-662-08549-3}}</ref><ref>{{Ref-llibre\|cognom=Bronshtein, I.; Semendiaev, K.\|nom=\|títol=Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes\|url=\|edició=\|llengua=Castellà\|data=1977\|editorial=MIR\|lloc=Moscú\|pàgines=\|isbn=}}</ref> o '''teorema del binomi''' és una fórmula que serveix per a calcular la potència <math>n</math> d'un '''binomi''' <math>(a+b) </math>. És per tant una generalització de les fórmules elementals <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> i <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math>. Aquestes dues formen part del que s'anomenen [[Identitat notable\|Identitats notables]], i admeten una demostració gràfica elemental en termes d'àrees de quadrats i rectangles, cubs i paral·~~lepípeds~~lelepípedes. El cas general, que és pròpiament ell'anomenat Binomi de Newton, utilitza nombres [[combinatòria\|combinatoris]], i diu: <math>{(a+b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}, \quad\quad\quad\quad\quad (1)</math>, on el [[coeficient binomial]] <math> {n \choose k}</math> és el nombre combinatori definit així : <math> {n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>, i es llegeix <math>n</math> ''sobre'' <math>k</math>. El conjunt dels coeficients binomials ordenats en fileres amb <math>n</math> creixent de dalt a baix constitueixen l'anomenat [[Triangle de Tartaglia]] o, Triangle de Pascal o Triangle aritmètic. Exemples: Línia 26: :<math>{n \choose k}</math> Formes diferents de seleccionar els <math>s_i</math> per obtenir els <math>b</math>s (ja que <math>k</math> <math>b</math>s se seleccionen a partir de <math>n</math> <math>s_i</math>), i per tant aquest ha de ser el coeficient per a <math>t</math>. === Demostració algebraica === Línia 35: Per hipòtesi d'inducció se suposa que el teorema és veritat quant l'exponent val ''m''. Llavors per ''n'' = ''m'' + 1 :<math> (a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,</math><math> = a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j</math> ~~::<math> = a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j</math>~~ Aplicant la propietat distributiva Linha 68 ⟶ 66: == La sèrie binomial == Si escrivim <math>(a+b)^n=a^n(1+\frac{b}{a})^n </math> podem anomenar <math>x=\frac{b}{a}</math> i escriure <math>\alpha</math> en lloc de <math>n</math>. La funció <math>f(x)=(1+x)^\alpha</math>rep el nom de funció binomial, i té sentit també si <math>\alpha</math> és un nombre complex qualsevol. La seva sèrie de Mclaurin té radi de convergència més gran o igual que 1, segons el valor de <math>\alpha</math>, i es coneix com sèrie binomial o expansió binomial<ref>{{Ref-llibre\|cognom=M. Abramowitz; I. A. Stegun (eds.)\|nom=\|títol=Handbook of Mathematical Functions: with formulas, graphs, and mathematical tables\|url=people.math.sfu.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf\|edició=\|llengua=Anglès\|data=1970\|editorial=Dover\|lloc=\|pàgines=\|isbn=0486612724}}</ref> <ref>{{Ref-llibre\|cognom=F.W.J. Oliver, et al. (eds.)\|nom=\|títol=NIST Handbook of Mathematical functions\|url=\|edició=\|llengua=\|data=2010\|editorial=Cambridge University Press\|lloc=Cambridge\|pàgines=\|isbn=9780521140638}}</ref>. Aquesta generalitza el Binomi de Newton : <math>(1)</math> <math>\alpha</math> és un nombre natural. <math>\begin{align} (1 + x)^\alpha &= \sum_{k=0}^{\infty} \; {\alpha \choose k} \; x^k = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \cdots, \end{align}</math> on <math>{\alpha \choose k} := \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}</math>, (regla mnemotècnica: hi ha <math>k</math> factors en el numerador i <math>k</math> factors en el denominador)<ref>{{Ref-web\|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_series\|títol=Binomial Series\|consulta=04/07/2017\|llengua=Anglès\|editor=\|data=04/07/2017}}</ref>. == Observacions == EnA les demostracions anteriors es veu que és essencial la propietat commutativa <math>ab=ba</math>. Si, per exemple, <math>A</math> i <math>B</math> fossin dues matrius que no commutessin, aleshores tindríem simplement <math>(A+B)^2=A^2+AbAB+BA+B^2</math> o <math>(A+B)^3=A^3+A^2B+ABA+BA^2+AB^2+BAB+B^2A+B^3</math>. El Binomi de Newton és molt útil per al càlcul mental. Per exemple, calcular <math>21^4</math> és molt fàcil si s'escriu com <math>(20+1)^4</math>. Linha 81 ⟶ 79: Observi's que la suma dels coeficients binomials del binomi de grau <math>n</math> és igual a <math>2^n</math>i la suma dels coeficients que jauen en els llocs senars coincideix amb la suma dels que jauen en els llocs parells. El terme <math>{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}</math> quan <math>a=1-p</math> i <math>b=1-p</math> és la probabilitat que el nombre d'èxits sigui exactament <math>k</math> en una seqüència de <math>n</math> assaigs independents amb una probabilitat fixa <math>p</math> d'ocurrència de l'èxit entre els assaigs. A aquesta distribució de probabilitat se li dona el nom de [[distribució binomial]]. == Història == Segons <ref>{{Ref-llibre\|cognom=Suzuki\|nom=Jeff\|títol=Mathematics in Historical Context\|url=\|edició=\|llengua=Anglès\|data=\|editorial=The Mathematical Association of America\|lloc=\|pàgines=\|isbn=978-0-88385-570-6}}</ref>, p. 226, la primera aparició escrita del teorema del binomi va ser en una carta de Newton a Henry Oldenburg, Secretari de la Royal Society, el 1676. A la mateixa referència, p. 233, es diu que Newton va usar el binomi i la distribució binomial el 1693 per a resoldre un problema sorgit en un joc de daus, per encàrrec de la casa reial de Guillem III. Més referències històriques a l'escrit Potència d'un Binomi, de R. Nolla, esmentat als Enllaços externs. == Vegeu també == * [[Triangle de Tartaglia]] * [[Identitat notable\|Identitats notables]] == Enllaços externs == [http://www.xtec.cat/~rnolla/apunts/BinomiNewton_ccss.pdf Potència d'un binomi, per R. Nolla] == Bibliografia == {{Autoritat}}

Binomi de Newton: diferència entre les revisions