Diferència entre revisions de la pàgina «Matriu invertible»

Afegint propietats
m (Afegida la plantilla {{Autoritat}} a l'article)
(Afegint propietats)
Donada una [[Matriu_%28matem%C3%A0tiques%29|matriu]] quadrada <math>A</math> d'ordre <math>n</math>, <math>A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})</math>, es diu que <math>A</math> és '''invertible''' ('''regular''' o no singular) si existeix una altra matriu <math>B\in M_{n\times n}(\mathbb{R})</math> tal que <math>A\cdot B = I_n</math> i <math>B\cdot A = I_n</math>, on <math>I_n</math> és la [[matriu identitat]] d'ordre <math>n</math>. En aquest cas, la matriu <math>B</math> és única i es denota per <math>A^{-1}</math>.
 
Quan una matriu no és invertible, es diu que és no invertible o singular. En aquest cas es poden considerar les [[pseudoinversa|pseudoinverses]].
<center><math>A B = I_n = B A</math>,</center>
 
=== Exemple ===
on <math>I_n</math> és la matriu identitat d'ordre <math>n</math>.
 
Per exemple, les següents matrius <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> i <math>B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> són inverses l'una de l'altra: atès que:
 
<center><math>AB=BAA=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>, <math>B=\cdotbegin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.
 
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=
;== ObservacionsPropietats<ref>Llerena, Irene, [[Rosa Maria Miró Roig|Miró-Roig, Rosa Maria]], ''Matrius i vectors'', Universitat de Barcelona, Barcelona, 2010, p. 71, 72.</ref> ==
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot
* La inversa d'una matriu és única.
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =
* La inversa del producte de dues matrius és el producte de les inverses canviant l'ordre:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3</math></center>
 
:<math>\left (A \cdot B \right ) ^{-1} = {B}^{-1} \cdot {A}^{-1} </math>
 
* Si la matriu és invertible, també ho és la seva [[matriu transposada|transposada]], i la inversa de la transposada és la transposada de la inversa, és a dir:
 
:<math>\left(A^{T}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{T}</math>
 
* La matriuinversa de la inversa d'una matriu <math>A</math>, si existeix, es denota perés <math>A^{-1}</math>.:
 
:<math>\left((A^{-1})^{-1}\right) = A</math>
 
* Una matriu <math>A</math> definida sobre els reals és invertible si i només si el seu [[Determinant_(matemàtiques)|determinant]] és distint de zero. A més a més, la inversa satisfà la igualtat següent:
:<math>{A^{-1}} = {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \operatorname{adj} (A^{T}) \ </math>
 
on <math> { {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}}</math> és el determinant de la matriu A i <math> \operatorname{adj}{(A)} \ </math> és la [[Matriu d'adjunts]] de A.
 
* El conjunt de matrius quadrades d'ordre <math>n</math> sobre un cos <math>\mathbf{K}</math> que admeten inversa, amb el producte de matrius, té una estructura isomorfa al [[grup lineal]] <math>\text{GL}(n,\mathbf{K})</math> d'ordre <math>n</math>. En aquest grup, l'operació inversa és un [[automorfisme]] <math>(\cdot)^{-1}: \text{GL}(n,\mathbf{K}) \to \text{GL}(n,\mathbf{K})</math>.
 
La matriu inversa d'<math>A</math>, si existeix, es denota per <math>A^{-1}</math>.
;
; Observacions<ref>Llerena, Irene, [[Rosa Maria Miró Roig|Miró-Roig, Rosa Maria]], ''Matrius i vectors'', Universitat de Barcelona, Barcelona, 2010, p. 71, 72.</ref>
* Si existeix, la matriu inversa d'una matriu <math>A</math> és única. Efectivament, suposem que <math>B</math> i <math>C</math> són matrius inverses de <math>A</math>, aleshores:
<center><math>B=BI_n=B(AC)=(BA)C=I_nC=C</math></center>
* No totes les matrius quadrades tenen inversa, només tenen inversa aquelles matrius <math>A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})</math> tals que el seu [[Rang (àlgebra lineal)|rang]] sigui <math>n</math>, <math>\text{rang}(A)=n</math>.
 
* Si una matriu <math>A</math> té inversa, aleshores no pot existir una altra matriu <math>B\neq 0</math>, quadrada o no, tal que <math>AB=0</math>. En efecte:
<center><math>AB=0 \Rightarrow 0=A^{-1}AB=(A^{-1}A)B=I_nB=B</math></center>
* Si <math>A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{R})</math> són dues matrius invertibles, es compleix:
<center><math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math></center>
La construcció de la matriu <math>A^{-1}</math> que satisfà la igualtat donada més amunt s'anomena inversió de matrius.
 
Quan una matriu no és invertible es diu que és no invertible o singular. En aquest cas es poden considerar les [[pseudoinversa|pseudoinverses]].
 
== Inverses generalitzades ==
411

modificacions