Afegint propietats
m (Afegida la plantilla {{Autoritat}} a l'article) |
(Afegint propietats) |
||
|
Donada una [[Matriu_%28matem%C3%A0tiques%29|matriu]] quadrada <math>A</math> d'ordre <math>n</math>, <math>A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})</math>, es diu que <math>A</math> és '''invertible''' ('''regular''' o no singular) si existeix una altra matriu <math>B\in M_{n\times n}(\mathbb{R})</math> tal que <math>A\cdot B = I_n</math> i <math>B\cdot A = I_n</math>, on <math>I_n</math> és la [[matriu identitat]] d'ordre <math>n</math>. En aquest cas, la matriu <math>B</math> és única i es denota per <math>A^{-1}</math>.
Quan una matriu no és invertible, es diu que és no invertible o singular
=== Exemple ===
Per exemple, les següents matrius <math>A
* La inversa d'una matriu és única.
* La inversa del producte de dues matrius és el producte de les inverses canviant l'ordre:
:<math>\left (A \cdot B \right ) ^{-1} = {B}^{-1} \cdot {A}^{-1} </math>
* Si la matriu és invertible, també ho és la seva [[matriu transposada|transposada]], i la inversa de la transposada és la transposada de la inversa, és a dir:
:<math>\left(A^{T}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{T}</math>
* La
:<math>\left((A^{-1})^{-1}\right) = A</math>
* Una matriu <math>A</math> definida sobre els reals és invertible si i només si el seu [[Determinant_(matemàtiques)|determinant]] és distint de zero. A més a més, la inversa satisfà la igualtat següent:
:<math>{A^{-1}} = {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \operatorname{adj} (A^{T}) \ </math>
on <math> { {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}}</math> és el determinant de la matriu A i <math> \operatorname{adj}{(A)} \ </math> és la [[Matriu d'adjunts]] de A.
* El conjunt de matrius quadrades d'ordre <math>n</math> sobre un cos <math>\mathbf{K}</math> que admeten inversa, amb el producte de matrius, té una estructura isomorfa al [[grup lineal]] <math>\text{GL}(n,\mathbf{K})</math> d'ordre <math>n</math>. En aquest grup, l'operació inversa és un [[automorfisme]] <math>(\cdot)^{-1}: \text{GL}(n,\mathbf{K}) \to \text{GL}(n,\mathbf{K})</math>.
▲La matriu inversa d'<math>A</math>, si existeix, es denota per <math>A^{-1}</math>.
▲; Observacions<ref>Llerena, Irene, [[Rosa Maria Miró Roig|Miró-Roig, Rosa Maria]], ''Matrius i vectors'', Universitat de Barcelona, Barcelona, 2010, p. 71, 72.</ref>
* No totes les matrius quadrades tenen inversa, només tenen inversa aquelles matrius <math>A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})</math> tals que el seu [[Rang (àlgebra lineal)|rang]] sigui <math>n</math>, <math>\text{rang}(A)=n</math>.
* Si una matriu <math>A</math> té inversa, aleshores no pot existir una altra matriu <math>B\neq 0</math>, quadrada o no, tal que <math>AB=0</math>. En efecte:
<center><math>AB=0 \Rightarrow 0=A^{-1}AB=(A^{-1}A)B=I_nB=B</math></center>
▲Quan una matriu no és invertible es diu que és no invertible o singular. En aquest cas es poden considerar les [[pseudoinversa|pseudoinverses]].
== Inverses generalitzades ==
| |||