Lògica de primer ordre: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
→Axiomes: error tipogràfic a la fórmula |
m Substitueix la sintaxi de matemàtiques obsoletes d'acord amb mw:Extension:Math/Roadmap |
||
Línia 108:
|-
|Sòcrates és savi i prudent.
|<math> Ss\
|-
|Si Sòcrates és savi, aleshores també és prudent.
Línia 114:
|-
|Ningú no és savi i més prudent.
|<math>\neg\exists x (Sx\
|-
|Tots els savis són prudents.
Línia 152:
* Un conjunt finit però arbitràriament gran de ''funcions'': <math>\{f, g, o, l, b, ...\}\, </Math>
* Un conjunt finit però arbitràriament gran de ''lletres de predicat'': <math>\{P, A, S, N, ...\}\, </Math>
* El conjunt de connectives lògiques heretades de la [[lògica proposicional]]: <math>\{\neg,\
* El conjunt de [[quantificador (lògica)|quantificador]] és: <math>\{\forall,\exists\}</math>
* Els parèntesis esquerre i dret: <math>\{(,)\}\, </math>
Línia 181:
<br/> <math> Pa, GX, Rab, Sxya\, </math>
# Si <math>\phi\, </math> és una fórmula ben formada de Q, llavors <math>\neg\phi\, </math> també ho és. Les seves variables lliures són les variables lliures de <math>\phi\, </math>.
# Si <math>\phi\, </math> i <math>\psi\, </math> són fórmules ben formades de Q, llavors <math> (\phi\
# Si <math>\phi\, </math> és una fórmula ben formada de Q, llavors <math>\forall x (\phi)\, </math> i <math>\exists x (\phi )\, </math> també ho són, es pot usar qualsevol altra variable en lloc de ''x''. Les seves variables lliures són les variables lliures de <math>\phi\, </math> diferents de ''x''. A qualsevol instància de ''x'' (o una altra variable reemplaçant ''x'' en aquesta construcció) se l'anomena '' lligada '' (no lliure) a <math>\forall x (\phi)\, </math> i <math>\exists x (\phi)\, </math>.
# Només les expressions que poden ser generades mitjançant les clàusules 1 a 4 en un nombre finit de passos són fórmules ben formades de Q.
Línia 187:
Segons aquesta gramàtica, alguns exemples de fórmules ben formades (no atòmiques) són:
: <math>\forall x (Px),\forall x (Da),\exists i (Ryyy),\forall x (\exists i (Gyaxbc)),\exists x (Bx\
I alguns exemples de fórmules mal formades són:
Línia 213:
: <math>\forall x\forall y\bigg ((x=y)\to\forall P\Big ((P (... x. ..)\Leftrightarrow P (... i. ..)\Big)\bigg) </math>
* Una altra manera és incloure al símbol d'identitat com una de les relacions de la teoria i afegir els axiomes d'identitat a la teoria. A la pràctica aquesta convenció és gairebé indistingible de l'anterior, excepte en el cas inusual de les teories sense noció d'identitat. Els axiomes són els mateixos. L'única diferència és que uns s'anomenen axiomes lògics i els altres axiomes de la teoria.
* En les teories sense funcions i amb un nombre finit de relacions, és possible definir la identitat en termes de les relacions. Això es fa definint que dos termes ''a''i''b'' són iguals si i només si cap relació presenta canvis reemplaçant ''a'' per ''b'' en qualsevol [[argument]]. Per exemple, en teoria de conjunts amb una relació de pertinença (<math>\in\, </math>), definiríem <math> a=b\, </math> com una abreviació per <math>\forall x ( (a\in x)\Leftrightarrow (b\in x))\
* En algunes teories és possible donar definicions '' ad hoc '' per a la identitat. Per exemple, en una teoria d'ordres parcials amb una relació de menor o igual (<math>\le\, </math>) podríem definir <math> a=b\, </math> com una abreviació per <math> (a\le b)\
=== Regles d'inferència ===
| |||