Viquipèdia

Muhàmmad ibn Mussa al-Khwarazmí: diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
m Aplicant la plantilla {{ISBN}} per evitar l'enllaç màgic d'ISBN
su nombre
Etiquetes: Substitució editor visual
Línia 1:
{{Infotaula persona}}
'''Muhàmmad ibn Mussa al-Khwarazmí''', conegut normalment com a '''al-Khwarazmí '''o''' al-Khuwarizmí''' ([[Bagdad]] ?, [[780]] - [[850]]), fou un matemàtic, geògraf i astròleg/astrònom creador dels termes ''[[àlgebra]]'' i ''[[algorisme]]''. Les seves dades biogràfiques són insegures: segons l'historiador del seu temps [[at-Tabarí]], va néixer a prop de Bagdad; altres fonts el fan originari de [[Pèrsia]],<ref name="toomer">{{harvnb|Toomer|1990}}</ref><ref name="Hogendijk">{{ref-publicació|nom=Jan P.|cognom=Hogendijk|títol=al-Khwarzimi |publicació=Pythagoras |volum=38 |exemplar=2|any=1998|pàgines=4–5|issn=0033–4766|url=http://www.kennislink.nl/web/show?id=116543}}</ref><ref name="Oaks">{{ref-web|nom=Jeffrey A.|cognom= Oaks|url=http://facstaff.uindy.edu/~oaks/MHMC.htm|títol=Was al-Khwarizmi an applied algebraist? |editor=[[University of Indianapolis]]|consulta=2008-05-30}}</ref> cosa que concordaria amb la presumpció que era o havia estat seguidor del [[zoroastrisme]].
 
El seu treball científic es va desenvolupar entre els anys [[813]] i [[833]] dins de les institucions fundades pel [[califa]] [[Al-Mamun (abbàssida)|al-Mamun]]: la [[Casa de la saviesa]] (dedicada a traduir obres clàssiques), la biblioteca i l'observatori astronòmic de Bagdad. Gràcies a això, es varen transmetre a la cultura àrab els coneixements dels clàssics en [[grec antic|grec]], [[llatí]] o [[sànscrit]]. Durant els segles de l'[[edat mitjana]], al-Khwarazmí va ser la principal font de coneixements matemàtics entre l'Orient i l'Occident.
 
El tractat d'àlgebra ''Hissab al-jabr wa-l-muqàbala'' va ser dedicat al califa al-Mamun. La paraula ''àlgebra'' deriva de la part del títol ''al-jabr''. En aquesta obra, escrita amb finalitats pràctiques de resoldre problemes de repartiment d'herències (molt complicades en el món islàmic) i obres d'enginyeria, es resolen matemàticament i aplicant la lògica d'[[equacions lineals]] i [[equació quadràtica|quadràtiques]]. Al-Khwarazmí ensenyà, per exemple, com multiplicar l'expressió (a + b x) (c + d x), tot això expressat en paraules, atès que la notació simbòlica de la matemàtica actual no s'usava.
 
La paraula ''algorisme'' (o la seva variant ''algoritme'') deriva de la traducció llatina realitzada el [[segle XII]] de l'obra sobre càlcul amb nombres indis anomenada ''algoritmi'' (transcripció llatina d'al-Khwarazmí),<ref>{{harvnb|Daffa|1977}}</ref> ''de numero indorum''. També del seu nom en deriva la paraula ''guarisme'',<ref>{{ref-llibre|autor=[[Donald Knuth|Knuth, Donald]]|url=http://historical.ncstrl.org/litesite-data/stan/CS-TR-80-786.pdf|títol=Algorithms in Modern Mathematics and Computer Science|editorial=Springer-Verlag|any=1979|isbn= 0-387-11157-3}}</ref> que és sinònim de "xifra";<ref name="DIEC">{{ref-web|url=http://dlc.iec.cat/results.asp?txtEntrada=guarisme&operEntrada=0|títol= Guarisme |consulta= 28 de març de 2010 |autor= |data= |obra= Diccionari de l'Institut d'Estudis Catalans|editor= Institut d'Estudis Catalans|arxiuurl= |arxiudata= |llengua= català}}</ref> i en [[portuguès]], un ''algarismo'' també té un significat similar. Aquesta obra, ''Algoritmi'', sembla que ha estat la primera en què s'exposà sistemàticament el valor posicional dels nombres en el [[sistema decimal]] (inclòs el [[zero]]), a partir del [[Sistema de numeració Hindú-Àrab|sistema de numeració utilitzat a l'Índia]].<ref>{{Ref-llibre |cognom=Brezina |nom=Corona |títol=Al-Khwarizmi: The Inventor Of Algebra |url=http://books.google.cat/books?id=3Sfrxde0CXIC&pg=PA95&lpg=PA95&dq=al-Khw%C4%81rizm%C4%AB+zero&source=bl&ots=l4D4Hoqvqq&sig=ml_BdfPBBFb4rMeKql6N3s13n8s&hl=ca&sa=X&ei=FYkZUNXyHYfMhAe2g4CYAw&ved=0CDkQ6AEwAg#v=onepage&q=al-Khw%C4%81rizm%C4%AB%20zero&f=false |llengua=anglès |editorial=Al-Khwarizmi: The Inventor Of Algebra |data=2006 |pàgines=p.95 |isbn=1404205136 }}</ref>
 
== Obra ==
=== Àlgebra ===
En el seu tractat d'àlgebra, obra eminentment didàctica, pretenia ensenyar una àlgebra aplicada a la resolució de problemes de la vida quotidiana de l'imperi islàmic d'aleshores. La traducció de Rosen de les paraules d'al-Khwarazmí descrivint les finalitats del seu llibre confirmen l'objectiu educatiu del savi:<ref name="alK86">Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al Khwarizmi. ''The Algebra of Mohammed ben Musa''. Hildesheim: G. Olms Verlag, 1831; trad. i ed. de Friedrich Rosen. Reimprès el 1986.</ref>
{{cita|... allò que és fàcil i més útil en aritmètica, de manera que les persones ho requereixen constantment en casos d'herència, llegats, particions, judicis i comerç, i en tots els seus tractes amb els altres, o quan es tracta de la mesura de les terres, excavació de canals, càlculs geomètrics, i altres objectes de diverses classes i tipus.}}
 
Traduït al [[llatí]] per [[Gerard de Cremona]], l'obra va ser utsada com a llibre de text en les universitats europees fins al [[segle XVI]]. És possible que abans d'ell s'haguessin resolt equacions concretes, però aquest és el primer tractat conegut en el qual es fa un estudi matemàtic exhaustiu.
 
Després de presentar els [[nombres naturals]], al-Khwarazmí aborda la qüestió principal en la primera part del llibre: la solució d'[[equacions]]. Les seves equacions són lineals o quadràtiques i estan compostes d'unitats, arrels i quadrats; per a ell, per exemple, una unitat era un nombre, una arrel era <math>x</math> i un quadrat <math>x^2</math>. Encara que, en els exemples que segueixen, usarem la notació algebraica corrent emprada actualment per a ajudar el lector a entendre les nocions; cal destacar que al-Khwarazmí no usava símbols de cap classe, sinó només paraules.
[[Fitxer:Dixit algorizmi.png|thumb|Pàgina d'una traducció en llatí que comença amb les paraules ''Dixit algorizmi'']]
Primer redueix una equació a alguna de les sis formes normals:
# Quadrats iguals a arrels.
# Quadrats iguals a nombres.
# Arrels iguals a nombres.
# Quadrats i arrels iguals a nombres, per exemple: <math>x^2 + 10x = 39</math>
# Quadrats i nombres iguals a arrels, per exemple: <math>x^2 + 21 = 10x</math>
# Arrels i nombres iguals a quadrats, per exemple: <math>3x + 4 = x^2</math>
 
La reducció es porta a terme usant les operacions de ''khwar ("compleció", el procés d'eliminar termes negatius de l'equació) ''i ''muqàbala ("balanceig", el procés de reduir els termes positius de la mateixa potència quan succeeixen d'ambdós costats de l'equació).'' Després, al-Khwarazmí mostra com resoldre els sis tipus d'equacions, usant mètodes de solució algebraics i geomètrics. Per exemple, per a resoldre l'equació'' <math>x^2 + 10x = 39</math>,'' escriu:<ref name="alK86" />
{{cita|... un quadrat i deu arrels són iguals a 39 unitats. Llavors, la pregunta en aquest tipus d'equació és aproximadament així: quin és el quadrat que, combinat amb deu de les seves arrels, donarà una suma total de 39?. La manera de resoldre aquest tipus d'equació és prendre la meitat de les arrels esmentades. Ara, les arrels en el problema que tenim davant nostre són deu. Per tant, en prenem 5 que multiplicades per si mateixes donen 25, una quantitat que s'afegirà a 39, donant 64. Havent extret l'arrel quadrada d'això, que és 8, hi restem d'allí la meitat de les arrels, 5, i dona com a resultat 3. Per tant, el nombre 3 representa una arrel d'aquest quadrat.||}}
 
Segueix la prova [[geometria|geomètrica]] per compleció del quadrat, que no exposarem ací. Assenyalarem, però, que, entre els experts, les proves geomètriques que usa al-Khwarazmí són objecte de controvèrsia. La qüestió, que roman sense resposta és si estava familiaritzat amb el treball d'[[Euclides]]. Cal recordar que, en l'època de joventut d'al-Khwarazmí, durant el regnat d'[[Harun ar-Raixid]], al-Hajjaj havia traduït els ''Elements'' d'[[Euclides]] a l'àrab, i era un dels companys d'al-Khwarazmí a la Casa de la Saviesa. Això avalaria la posició de Gerald Toomer.<ref name="Gil70">Charles C. Gillespie (ed.). ''Dictionary of Scientific Biography''. Nova York: Charles Scribner's Sons, ed. 1970/1990</ref> Rashed comenta que "el tractament [d'al-Khwarazmí] fou probablement inspirat en el recent coneixement dels ''Elements''".<ref name="Ras94">Rashed, R. ''The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra''. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994. Traducción de A.F.W. Armstrong de la versión francesa de 1984.</ref> Però, per la seva banda, Gandz sosté que els ''Elements'' li eren completament desconeguts.<ref name="Gan32">S. Gandz (ed.). ''The geometry of al-Khwarizmi'', Berlín, 1932.</ref> Encara que és insegur que hagi efectivament conegut l'obra euclidiana, es pot arribar a afirmar que en va rebre la influència per altres obres de geometria; vegeu el tractament que fa Parshall sobre les similituds metodològiques amb el text hebreu ''Mishnat ha Middot'', de mitjan del [[segle II]].<ref>K.A. Parshall. "The art of algebra from al-Khwarizmi to Viète: a study in the natural selection of ideas", ''Hist. of Sci.'' 26 (1988), núm. 72, 2, pp. 129-164.</ref>
 
En ''Hissab al-jabr wa-l-muqàbala'', al-Khwarazmí continua examinant com les lleis de l'aritmètica s'estenen als seus objectes algebraics. Per exemple, mostra com multiplicar expressions com <math>(a + bx)(c + dx)</math>. Rashed troba les seves formes de resolució extremadament originals,<ref name="Ras94" /> però Crossley les considera menys significatives.<ref>J.N. Crossley. ''The emergence of number''. Singapur: World Scientific, 1980.</ref> Gandz considera que la paternitat de l'àlgebra és molt més atribuïble a al-Khwarazmí que a [[Diofant d'Alexandria]].<ref name="Gan36">S. Gandz. ''The sources of al-Khwarizmi's algebra'', a ''Osiris'' I (1936), pp. 236-277.</ref>
 
La part següent de l'obra consisteix en aplicacions i exemples. Descriu regles per trobar l'[[àrea]] de figures geomètriques com el [[cercle]], i el volum de sòlids com l'[[esfera]], el [[con]] i la [[piràmide]]. Aquesta secció, certament, té molta més afinitat amb els textos hebreus i indis que amb qualsevol obra grega. La part final del llibre s'ocupa de les complexes regles islàmiques de l'[[herència]], però requereix poc de l'àlgebra que va exposar amb anterioritat, més enllà de la resolució d'[[equacions lineals]].
[[Fitxer:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|thumb|Pàgina de l'''Hisab al-jabr w'al-muqabala'']]
 
=== Aritmètica ===
De la seva aritmètica, possiblement anomenada originalment ''Kitab al Yama ua al Tafriq bi Hisab a l'hindi'' (كتاب الجامع و التفريق بحساب الهند), "Llibre de la suma i de la resta, segons el càlcul indi", només conservem una versió llatina del [[segle XII]], ''Algorithmi de numero indorum''. Malauradament, se sap que l'obra s'aparta força del text original.<ref name="CrH90">J.N. Crossley; A.S. Henry. "Thus spake al-Khwarizmi: a translation of the text of Cambridge University Library ms. Ii.vi.5", ''Historia Math.'' 17 (1990), núm. 2, pp. 103-131.</ref> En aquesta obra, es descriu amb detall el sistema indi de numeració posicional en base 10 i mètodes per a fer càlculs amb aquest. Se sap que hi havia un mètode per a trobar [[arrels quadrades]] en la versió àrab, però no apareix en la versió llatina. Possiblement, va ser el primer a usar el [[zero]] com a indicador posicional. Va ser essencial per a la introducció d'aquest sistema de numeració en el món àrab i posteriorment a Europa. En l'obra d'A. Allard, es discuteixen alguns tractats en llatí del segle XII basats en aquesta obra perduda.<ref name="All91">A. Allard. "La diffusion en occident des premières oeuvres latines issues de l'arithmétique perdue d'al-Khwarizmi", ''J. Hist. Arabic Sci.'', 9 (1991), núm. 1-2, pp. 101-105.</ref>
 
=== Astronomia ===
Del seu tractat sobre astronomia, ''Sindhind zij'', també s'han perdut les dues versions que va escriure en àrab. Aquesta obra, descrita en detall per B. van Dalen,<ref>B. van Dalen. ''Al'Khwarizmi's astronomical tables revisited: analysis of the equation of time'', From Baghdad to Barcelona - Zaragoza 1993 (Barcelona), 1996, pp. 195-252.</ref> es basa en treballs astronòmics indis "a diferència de manuals islàmics d'astronomia posteriors, que varen usar els models planetaris grecs de l'''[[Almagest]]''de [[Ptolemeu]].<ref>Z.K. Sokolovskaya. "El període pretelescòpic de la història dels instruments astronòmics. al-Khwarizmi en el desenvolupament d'instruments de precisió al Pròxim i Mitjà Oriente". A ''El gran científic medieval al-Khwarizmi'', Fan, Tashkent, 1985, pp. 165-178. {{ru}}</ref> El text indi en què es basa el tractat és un dels obsequiats a la cort de [[Bagdad]] vora l'any [[770]] per una missió diplomàtica de l'[[Índia]].
 
 
 
Al [[segle X]], [[Al-Majrití]] va realitzar una revisió crítica de la versió més curta, que va ser traduïda al llatí per [[Adelard de Bath]]; també hi ha una traducció llatina de la versió més llarga, i ambdues traduccions han arribat fins als nostres temps. Els temes principals coberts en l'obra són: els [[calendari]]s, el càlcul de les posicions veritables del [[Sol]], la [[Lluna]] i els [[planeta|planetes]], taules de [[sinus]] i [[tangent]]s, astronomia esfèrica, taules astrològiques, càlculs de paral·laxi i eclipsis, i visibilitat de la Lluna. També es discuteix un manuscrit relacionat sobre trigonometria esfèrica, atribuït a al-Khwarazmí.<ref>B.A. Rozenfel'd. "Trigonometria esfèrica a al-Khwarizmi", ''Istor.-Mat. Issled''. 32-33 (1990), pp. 325-339. {{ru}}</ref>
 
=== Geografia ===
[[Fitxer:PtolemyWorldMap.jpg|thumb|Un mapa del segle XV basat en la ''Geografia'' de [[Ptolemeu]] per comparança]]
En l'àmbit de la [[geografia]], en una obra anomenada ''Kitab súrat al-Ard'' (en àrab: ''كتاب صورةلأرض'', ''Llibre de l'aparença de la Terra'' o ''de la imatge de la Terra'', traduït a l'anglès com a ''Geography''), acabat l'any [[833]], va revisar i va corregir els treballs anteriors de [[Ptolemeu]] pel que fa a Àfrica i l'[[Orient]]. Llistà [[latitud]]s i [[longitud]]s de 2.402 llocs,<ref>{{ref-web|consulta=2008-05-30 |url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Cartography.html|títol=The history of cartography|editor=GAP computer algebra system}}</ref> i emplaçà [[ciutat]]s, [[muntanyes]], [[mar]]s, [[illes]], regions geogràfiques i [[riu]]s, com a base per a un mapa del món conegut aleshores. Inclou mapes que, en conjunt, són més precisos que els de Ptolemeu. Està clar que on hi va haver major coneixement local disponible per al-Khwarazmí, com les regions de l'[[Islam]], Àfrica i l'[[Extrem Orient|Orient Llunyà]], el treball és molt més exacte que el de Ptolemeu, però sembla haver usat les dades d'aquest per a Europa. Es diu que, en aquests mapes, varen treballar a les seves ordres setanta geògrafs.
 
Només existeix una única còpia supervivent del ''Kitab súrat-al-Ard'', guardada a la Biblioteca de la [[Universitat d'Estrasburg]]. A la [[Biblioteca Nacional d'Espanya]] de [[Madrid]] se'n conserva una còpia traduïda al [[llatí]].
 
Tot i que ni la còpia en àrab ni la traducció al [[llatí]] inclouen el mapa del món, Hubert Daunicht va poder reconstruir un [[mapamundi]] usant-ne la llista de coordinades.<ref>{{ref-publicació|autor=[[Julius Ruska|Ruska, Julius]]|article=Zur ältesten arabischen Algebra und Rechenkunst|publicació=Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, Philosophisch-historische Klasse|pàgines=1–125|any=1917|ref=harv|url=http://catalog.hathitrust.org/Record/001653568}}</ref>
 
Al-Khwarizmí va corregir la sobreestimació que havia fet Ptolemeu sobre la superfície de la [[mar Mediterrània]]<ref>{{ref-llibre |cognom=Berggren |nom=J. Lennart|enllaçautor=Len Berggren|títol=Episodes in the Mathematics of Medieval Islam|any=1986 |editorial=Springer Science+Business Media |lloc= Nova York |isbn= 0-387-96318-9|ref=harv}}</ref><ref name=Kennedy-188>Edward S. Kennedy, ''Mathematical Geography'', p. 188, in {{Harv|Rashed|Morelon|1996|pp=185–201}}</ref> (des de les [[Illes Canàries]] a les costes de l'est de la Mediterrània); Ptolemeu va fer una estimació que la mar Mediterrània tenia 63 graus de [[longitud (geografia)|longitud]], mentre que ell va fer l'estimació més correcta que la mar tenia uns 50 graus de longitud.<ref>Una de les correccions que al-Khwārizmī va realitzar a l'obra de Ptolemeu és la reducció de la latitud de la [[Mediterrani]] de 62° a 52° quan, en realitat, que ha de ser 42°. L'àrab optà pel mateix meridià zero que Ptolemeu, el de les illes [[Canàries]]. La quantitat de terra habitada s'estén més de 180°.</ref> També va contrariar Ptolemeu dient que l'[[oceà Atlàntic]] i l'[[oceà Índic]] eren dos cossos oberts d'aigua, no pas mars.<ref name=Covington>{{ref-publicació|nom=Richard|cognom=Covington|publicació=Saudi Aramco World, Maig–Juny de 2007|any=2007|pàgines=17–21|url=http://www.saudiaramcoworld.com/issue/200703/the.third.dimension.htm |consulta=2008-07-06|ref=harv}}</ref> Al-Khwarizmí també va establir el [[meridià de Greenwich]] del [[Vell Món]] a la riba oriental de la Mediterrània, 10-13 graus a l'est d'[[Alexandria]] (Ptolemeu va situar el meridià a 70 graus a l'oest de [[Bagdad]]). La majoria dels geògrafs musulmans de l'edat medieval varen continuar usant el meridià de Greenwich d'al-Khwarizmí.
 
La majoria dels topònims usats per al-Khwarizmí coincideixen amb els de Ptolemeu, els de [[Martellus]] i els de [[Behaim]]. La forma general de la costa és la mateixa entre [[Taprobane]] i [[Kattigara]]. La costa atlàntica de la cua del Drac, que no existeix en el mapa de Ptolemeu, es traça en molt pocs detalls en el mapa d'al-Khwarizmí, però és clara i més precisa que la del mapa de Martellus i la versió de [[Behaim]].
 
== Calendari hebreu ==
Mussa al-Khwarazmí va escriure molts altres treballs, entre els quals hi ha un tractat sobre el [[calendari hebreu]] (''Risāla fi-istikhrāj taʾrīkh al-yahūd'', 'Extracció de l'era jueva'). Descriu el [[cicle metònic|cicle d'intercalació de 19 anys]], les maneres de determinar en quin dia de la setmana hi ha el primer dia del mes [[Tixrí]]; calculà l'interval entre l'[[Anno Mundi|era jueva]] i l'era [[selèucida]]. També explica la manera de determinar la longitud mitjana del Sol i de la Lluna usant el calendari hebreu. Treballs semblants es troben en l'obra d'[[al-Biruní]] i de [[Maimònides]].<ref name="toomer" /> <!-- Folkerts / Més a Kenedy / Només Sezgin esmenta "risala fi" -->
 
== Altres obres ==
Molts de manuscrits en àrab de Berlín, d'Istanbul, de Tashkent, del Caire i de París tenen material que s'atribueix a Mussa al-Khwarazmí. El manuscrit d'[[Istanbul]] conté un paper sobre els [[Rellotge solar|rellotges solars]] que és mencionat en ''Fihirst''. Altres documents, com el que determina la direcció de la [[Meca]], són sobre l'astronomia esfèrica.
 
Dos textos s'interessen sobre la distància angular horitzontal entre l'albada d'[[azimut]] d'un [[objecte astronòmic]] i la direcció [[est]] (''Maʿrifat saʿat al-mashriq fī kull balad'') i sobre la determinació d'azimut des d'una alçada (''Maʿrifat al-samt min qibal al-irtifā'').
 
També va escriure dos llibres sobre l'ús i la construcció dels [[astrolabi]]s A més a més, [[Ibn an-Nadim]], en la seva ''Kitab al-Fihrist'' (un índex de llibres àrabs) també esmenta ''Kitāb ar-Rukhāma(t)'' ('El llibre dels rellotges solars') i ''Kitab al-Tarikh'' ('El llibre d'història'), però s'han perdut.
 
També va escriure una història política que contenia horòscops de personatges prominents.
 
== Vegeu també ==
* [[Llista d'astrònoms]].
* [[Matemàtiques en l'islam medieval]].
* [[Astronomia àrab]].
 
== Referències ==
{{referències}}
 
== Bibliografia ==
* Vernet, J.. "al-K̲h̲wārazmī." [[Encyclopaedia of Islam]], segona edició. Editada per: P. Bearman, Th. Bianquis, C.E. Bosworth, E. van Donzel, W.P. Heinrichs. Brill Online, 2016. Referència. 29 de maig de 2016 <http://referenceworks.brillonline.com/entries/encyclopaedia-of-islam-2/al-khwarazmi-SIM_4209>
{{Refbegin|2}}
;Biografia
 
*{{ref-llibre|cognom= Dorce|nom=Carlos|títol= Història de la matemàtica. Des de Mesopotàmia fins al Renaixement |any=2013 |editor=Publicacions de la Universitat de Barcelona |llengua=català |isbn= 978-84-475-3683-2 |ref=Dorce|lloc=Barcelona}}
* {{ref-enciclopèdia|cognom= Toomer |nom= Gerald |enllaçautor= Gerald Toomer |títol= Al-Khwārizmī, Abu Jaʿfar Muḥammad ibn Mūsā |enciclopèdia= [[Dictionary of Scientific Biography]] |volum= 7 |editor = Gillispie, Charles Coulston |editorial= Charles Scribner's Sons |lloc= New York |any= 1990 |isbn = 0-684-16962-2 |ref=harv |url=http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830902300.html }}
* [[Sonja Brentjes|Brentjes, Sonja]] (2007). "[http://islamsci.mcgill.ca/RASI/BEA/Khwarizmi_BEA.htm Khwārizmī: Muḥammad ibn Mūsā al‐Khwārizmī]" in Thomas Hockey et al. (eds.). ''[[The Biographical Encyclopedia of Astronomers]]'', Springer Reference. New York: Springer, 2007, pp.&nbsp;631–633.
* {{ref-publicació | cognom=Dunlop|nom=Douglas Morton|enllaçautor=Douglas Morton Dunlop|any=1943|article=Muḥammad b. Mūsā al-{{subratllat|Kh}}wārizmī|publicació=[[The Journal of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland]]|pàgines=248–250|editorial=Cambridge University|ref=harv|url=http://www.jstor.org/stable/25221920}}
* {{MacTutor Biography|id=Al-Khwarizmi|title=Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi}}
* [[Fuat Sezgin]]. ''Geschichte des arabischen Schrifttums''. 1974, E. J. Brill, Leiden, the Netherlands.
* Sezgin, F., ed., ''Islamic Mathematics and Astronomy'', Frankfurt: Institut für Geschichte der arabisch-islamischen Wissenschaften, 1997–9. <!-- This is a collection of (mostly) reprints, consisting of 112 volumes to date. Practically all the literature on Islamic mathematics published before 1960 will be reprinted in these volumes. The volumes are compiled thematically, for example vols. 1–4 are about Al-Khwarizmi, vols. 14–20 on Euclid in the Arabic tradition, vols. 21–22 on Tabit ibn Qurra, vol. 23 on Abu Kamil, vols. 24–25 on Ibn Yunis, vols. 32–36 on al-Biruni, etc. -->
;Àlgebra
* {{ref-publicació|cognom=Gandz|nom=Solomon|enllaçautor=Solomon Gandz|títol=The Origin of the Term "Algebra"|publicació=The American Mathematical Monthly|volum=33|exemplar=9|any=1926|mes=November|pàgines=437–440|issn=0002–9890|url=http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28192611%2933%3A9%3C437%3ATOOTT%22%3E2.0.CO%3B2–0|doi=10.2307/2299605|editorial=The American Mathematical Monthly, Vol. 33, No. 9|ref=harv}}
* {{ref-publicació|cognom=Gandz|nom=Solomon|any=1936|títol=The Sources of al-Khowārizmī's Algebra|publicació=Osiris|volum=1|pàgines=263–277|issn=0369–7827|url=http://links.jstor.org/sici?sici=0369-7827%28193601%291%3A1%3C263%3ATSOAA%3E2.0.CO%3B2–3|doi=10.1086/368426|exemplar=1|ref=harv}}
* {{ref-publicació|cognom=Gandz|nom=Solomon|any=1938|títol=The Algebra of Inheritance: A Rehabilitation of Al-Khuwārizmī|publicació=Osiris|volum=5|pàgines=319–391|issn=0369–7827|url=http://links.jstor.org/sici?sici=0369-7827%281938%291%3A5%3C319%3ATAOIAR%3E2.0.CO%3B2–2|exemplar=5|doi=10.1086/368492|ref=harv}}
* {{ref-publicació | cognom=Hughes|nom=Barnabas|enllaçautor=Barnabas Hughes|article=Gerard of Cremona's Translation of al-Khwārizmī's al-Jabr: A Critical Edition|any=1986|publicació=Mediaeval Studies|volum=48|pàgines=211–263|ref=harv}}
* Barnabas Hughes. ''Robert of Chester's Latin translation of al-Khwarizmi's al-Jabr: A new critical edition''. In Latin. F. Steiner Verlag Wiesbaden (1989). {{ISBN|3-515-04589-9}}.
* {{ref-llibre|nom=L. C.|cognom=Karpinski|enllaçautor=L. C. Karpinski|títol=Robert of Chester's Latin Translation of the Algebra of Al-Khowarizmi: With an Introduction, Critical Notes and an English Version|any=1915|editorial=The Macmillan Company|url=http://library.albany.edu/preservation/brittle_bks/khuwarizmi_robertofchester/}}
* {{ref-llibre|cognom=Rosen|nom=Fredrick|enllaçautor=Frederick Rosen|títol=The Algebra of Mohammed Ben Musa|any=1831|editorial=Kessinger Publishing|isbn=1-4179-4914-7|url=http://www.archive.org/details/algebraofmohamme00khuwrich|ref=harv}} <!-- Arabic text of the Algebra of al-Khwarizmi, with English translation. Various medieval Latin translations of the Algebra of al-Khwarizmi have also been published. -->
* {{ref-publicació|autor=[[Julius Ruska|Ruska, Julius]]|article=Zur ältesten arabischen Algebra und Rechenkunst|publicació=[[Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, Philosophisch-historische Klasse]]|pàgines=1–125|any=1917|ref=harv|url=http://catalog.hathitrust.org/Record/001653568}}
;Aritmètica
* {{ref-llibre|cognom=Folkerts|nom=Menso|enllaçautor=Menso Folkerts|títol=Die älteste lateinische Schrift über das indische Rechnen nach al-Ḫwārizmī|any=1997|editorial=Bayerische Akademie der Wissenschaften|lloc=München|llengua=german and latin|isbn=3-7696-0108-4}} <!-- / Ed., Übers. und Kommentar von Menso Folkerts unter Mitarb. von Paul Kunitzsch --><!-- This is a new edition of the complete medieval Latin translation of the Arithmetic of al-Khwarizmi (previous editions are all incomplete). This work is lost in Arabic. -->
* [[Kurt Vogel|Vogel, Kurt]] (1968). ''[http://catalog.hathitrust.org/Record/000404668 Mohammed ibn Musa Alchwarizmi's Algorismus; das früheste Lehrbuch zum Rechnen mit indischen Ziffern. Nach der einzigen (lateinischen) Handschrift (Cambridge Un. Lib. Ms. Ii. 6.5) in Faksimile mit Transkription und Kommentar herausgegeben von Kurt Vogel.]'' Aalen, O. Zeller.
;Astronomia
* {{ref-llibre|títol=Commentary on the Astronomical Tables of Al-Khwarizmi: By Ibn Al-Muthanna|nom=B. R.|cognom=Goldstein|enllaçautor=B. R. Goldstein|editorial=Yale University Press|any=1968|isbn=0300004982}}
* {{ref-publicació|nom=Jan P.|cognom=Hogendijk|enllaçautor=Jan Hogendijk|article=Al-Khwārizmī's Table of the "Sine of the Hours" and the Underlying Sine Table|any=1991|publicació=Historia Scientiarum|volum=42|pàgines=1–12|ref=harv}}
* {{ref-llibre|cognom=King|nom=David A.|enllaçautor=David A. King|títol=Al-Khwārizmī and New Trends in Mathematical Astronomy in the Ninth Century|any=1983|editorial=Hagop Kevorkian Center for Near Eastern Studies: Occasional Papers on the Near East 2|lloc=New York University|id=LCCN 85-150177}} <!-- Description and analysis of seven recently discovered minor works related to al-Khwarizmi. -->
* {{ref-llibre|cognom=Neugebauer|nom=Otto|enllaçautor=Otto Neugebauer|títol=The Astronomical Tables of al-Khwarizmi|any=1962}}
* {{ref-publicació|nom=Boris A.|cognom=Rosenfeld|enllaçautor=Boris A. Rosenfeld|article="Geometric trigonometry" in treatises of al-Khwārizmī, al-Māhānī and Ibn al-Haytham|publicació=Vestiga mathematica: Studies in Medieval and Early Modern Mathematics in Honour of H. L. L. Busard|editor=Menso Folkerts and J. P. Hogendijk|editorial=Rodopi|lloc=Amsterdam|any=1993|id={{ISBN|90-5183-536-1}}|ref=harv}}
* [[Heinrich Suter|Suter, Heinrich]]. [Ed.]: Die astronomischen Tafeln des Muhammed ibn Mûsâ al-Khwârizmî in der Bearbeitung des Maslama ibn Ahmed al-Madjrîtî und der latein. Übersetzung des Athelhard von Bath auf Grund der Vorarbeiten von A. Bjørnbo und R. Besthorn in Kopenhagen. Hrsg. und komm. Kopenhagen 1914. 288 pp. Repr. 1997 (Islamic Mathematics and Astronomy. 7). {{ISBN|3-8298-4008-X}}.
* [[Benno van Dalen|Van Dalen, B]]. Al-Khwarizmi's Astronomical Tables Revisited: Analysis of the Equation of Time. <!-- Published in "Casulleras, J, Samsó, J., eds., ''From Baghdad to Barcelona: Studies in the Islamic Exact Sciences in Honour of Prof. Juan Vernet''. 2 vols. Barcelona: Universitat de Barcelona 1996.", pp. 195–252. With survey of all work done on the tables of al-Khwarizmi. -->
;Calendari hebreu
* {{ref-publicació | cognom=Kennedy|nom=E. S.|enllaçautor=Edward Stewart Kennedy|article=Al-Khwārizmī on the Jewish Calendar|any=1964|publicació=[[Scripta Mathematica]]|volum=27|pàgines=55–59|ref=harv}} <!-- reprinted in Studies in the Islamic Exact Sciences. Beirut 1983, 661–665 -->
;Geografia
* {{ref-llibre|cognom=Daunicht|nom=Hubert|enllaçautor=Hubert Daunicht|títol=Der Osten nach der Erdkarte al-Ḫuwārizmīs : Beiträge zur historischen Geographie und Geschichte Asiens|any=1968–1970|editorial=Bonner orientalistische Studien. N.S.; Bd. 19|llengua=[[German language|German]]|id= LCCN 71-468286}}
* {{ref-publicació | cognom=Mžik|nom=Hans von|enllaçautor=Hans von Mžik|article=Ptolemaeus und die Karten der arabischen Geographen|publicació=Mitteil. D. K. K. Geogr. Ges. In Wien|volum=58|any=1915|pàgina=152|ref=harv}}
* {{ref-publicació | cognom=Mžik|nom=Hans von|article=Afrika nach der arabischen Bearbeitung der γεωγραφικὴ ὑφήγησις des Cl. Ptolomeaus von Muh. ibn Mūsa al-Hwarizmi|publicació=Denkschriften d. Akad. D. Wissen. In Wien, Phil.-hist. Kl.|volum=59|any=1916|ref=harv}}
* {{ref-llibre|cognom=Mžik|nom=Hans von|títol=Das Kitāb Ṣūrat al-Arḍ des Abū Ǧa‘far Muḥammad ibn Mūsā al-Ḫuwārizmī|any=1926|lloc=Leipzig}}
* {{ref-publicació | cognom =Nallino| nom =C. A.| article =Al-Ḫuwārizmī e il suo rifacimento della Geografia di Tolemo |publicació =Atti della R. Accad. dei Lincei, Arno 291, Serie V, Memorie, Classe di Sc. Mor., Vol. II, Rome| data =1896}}
* {{ref-publicació|autor=[[Julius Ruska|Ruska, Julius]]|article=Neue Bausteine zur Geschichte der arabischen Geographie|publicació=Geographische Zeitschrift|volum=24|any=1918|pàgines=77–81|ref=harv}}
* {{ref-publicació | cognom=Spitta|nom=W.|enllaçautor=W. Spitta|article=Ḫuwārizmī's Auszug aus der Geographie des Ptolomaeus|publicació=Zeitschrift Deutschen Morgenl. Gesell.|volum=33|any=1879|ref=harv}}
;Trigonometria esfèrica
* B. A. Rozenfeld. "Al-Khwarizmi's spherical trigonometry" (Russian), ''Istor.-Mat. Issled.'' 32-33 (1990), 325-339.
{{Refend}}
 
== Enllaços externs ==
{{Projectes germans |Commons= |Viccionari= |Viquidites= al-Khwārizmī |Viquiespècies= |Viquillibres= |Viquinotícies= |Viquipèdia= |Viquitexts= |Viquiversitat= }}
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Khwarizmi.html Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi] a ''history.mcs.st-andrews.ac'' (en anglès).
* [http://web.archive.org/20060105053426/members.aol.com/OlivThill/algebra.htm L'àlgebra dels anys 830 (al-Khwarazmí) al 1637 (Descartes)] (en anglès).
 
{{1000 Biografies}}
 
{{autoritat}}
{{ORDENA:Khwarazmi}}
[[Categoria:Matemàtics perses]]
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Muhàmmad_ibn_Mussa_al-Khwarazmí»