Llei de Hooke: diferència entre les revisions

m
Robot treu caràcters de control Unicode
(a la 4a linea la F l'he canviat a (F))
m (Robot treu caràcters de control Unicode)
 
== Llei de Hooke per als ressorts ==
La forma més comuna de representar matemàticament la &nbsp;''Llei de Hooke'' &nbsp;és mitjançant l'equació del moll o &nbsp;ressort &nbsp;, on es relaciona la força &nbsp;<math>F</math>exercida pel ressort amb l'elongació &nbsp;o allargament &nbsp;provocat per la força externa aplicada a l'extrem del mateix:
 
<math>F = - k\delta \,</math>
 
on &nbsp;<math>k</math>es diu &nbsp;constant elàstica &nbsp;del ressort i &nbsp;<math>\delta</math>és la seva elongació o variació que experimenta la seva longitud.
 
L'energia de deformació o energia potencial elàstica &nbsp;<math>U_k</math>associada a l'estirament de la molla ve donada per la següent equació:
 
<math>U_k=\frac{1}{2} k{\delta}^2</math>
 
És important notar que la &nbsp;<math>k</math>abans definida depèn de la longitud de la molla i de la seva constitució. &nbsp;Definirem ara una constant intrínseca del ressort independent de la longitud d'aquest i establirem així la llei diferencial constitutiva d'un moll. &nbsp;Multiplicant &nbsp;<math>k</math>per la longitud total, i trucant al producte<math>k_i</math> &nbsp;o &nbsp;<math>k</math>intrínseca, es té:
 
<math>k=\frac{k_i}{L}</math>
 
Anomenarem<math>F(x)</math> &nbsp;a la tensió en una secció del moll situada una distància x d'un dels seus extrems que prenem com a origen de coordenades, &nbsp;<math>k_{\Delta x}</math>a la constant d'un petit tros de moll de longitud &nbsp;<math>\Delta x</math>a la mateixa distància i &nbsp;<math>\delta_{\Delta x}</math>l'allargament d'aquest petit tros en virtut de l'aplicació de la força &nbsp;. &nbsp;Per la llei del moll complet:
 
<math>F(x)=-k_{\Delta x}\delta_{\Delta x}=-k_i\frac{\delta_{\Delta x}}{\Delta x}</math>
<math>F\left(x\right)=-k_i\frac{d{\delta}}{dx}=-AE\frac{d\delta}{dx}</math>
 
Que és l'equació diferencial del moll. &nbsp;Si s'integra per a tot &nbsp;, s'obté com &nbsp;equació d'ona &nbsp;unidimensional que descriu els fenòmens ondulatoris (Veure: &nbsp;Moll elàstic &nbsp;). &nbsp;La velocitat de propagació de les vibracions en un ressort es calcula com:
 
<math>c=\sqrt{\frac{E}{\rho}}</math>
 
== Llei de Hooke en sòlids elàstics &nbsp;==
A la &nbsp;mecànica de sòlids deformables &nbsp;elàstics &nbsp;la distribució de tensions és molt més complicada que en un ressort o una barra estirada només segons el seu eix. &nbsp;La &nbsp;deformacióen el cas més general necessita ser descrita mitjançant un &nbsp;tensor de deformacions &nbsp;mentre que els esforços interns en el material necessiten ser representats per un &nbsp;tensor de tensions &nbsp;. &nbsp;Aquests dos tensors estan relacionats per equacions lineals conegudes per &nbsp;'''equacions d'Hooke generalitzades''' &nbsp;o &nbsp;'''equacions de Lamé-Hooke''' &nbsp;, que són lesequacions constitutives &nbsp;que caracteritzen el comportament d'un sòlid elàstic lineal. &nbsp;Aquestes equacions tenen la &nbsp;forma general &nbsp;:
 
<math>\sigma_{ij} = \sum_{k, l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,</math>
Gran part de les estructures d'enginyeria són dissenyades per patir deformacions petites, s'involucren només en la recta de l'diagrama d'esforç i deformació.
 
De tal manera que la deformació &nbsp;<math>\epsilon</math>és una quantitat adimensional, el mòdul &nbsp;<math>E</math>s'expressa en les mateixes unitats que l'esforç &nbsp;<math>\sigma</math>(unitats pa, psi i ksi). &nbsp;El màxim valor de l'esforç per al qual pot emprar-se la llei de Hooke en un material és conegut com a límit de proporcionalitat d'un material. &nbsp;En aquest cas, els materials dúctils que posseeixen un punt de cedència definit; &nbsp;en certs materials no pot definir-se la proporcionalitat de cedència fàcilment, ja que és difícil determinar amb precisió el valor de l'esforç &nbsp;<math>\sigma</math>per al qual la similitud entre<math>\sigma</math> &nbsp;i &nbsp;<math>\epsilon</math>deixi de ser lineal. &nbsp;En utilitzar la llei de Hooke en valors més grans que el límit de proporcionalitat no conduirà a cap error significatiu. &nbsp;En resistència de materials s'involucra en les propietats físiques de materials, com a resistència, ductilitat i resistència de corrosió; &nbsp;que poden afectar a causa de l'aliatge, el tractament tèrmic i el procés de manofactura.
 
=== Cas unidimensional ===
En el cas d'un problema unidimensional on les deformacions o tensions en direccions perpendiculars a una adreça donada són irrellevants o es poden ignorar &nbsp;<math>\sigma = \sigma_{11}</math>, &nbsp;<math>\epsilon = \epsilon_{11}</math>, <math>C_{11} = E</math> &nbsp;i l'equació anterior es redueix a:
 
<math>\sigma = E\epsilon \,</math>
 
on &nbsp;<math>E</math>és el &nbsp;mòdul de Young &nbsp;.
 
=== Cas tridimensional isòtrop ===
Per caracteritzar el comportament d'un sòlid elàstic lineal i &nbsp;isòtrop &nbsp;es requereixen a més del &nbsp;mòdul de Young &nbsp;una altra constant elàstica, anomenada &nbsp;coeficient de Poisson &nbsp;(<math>v</math>).D'altra banda, les equacions de Lamé-Hooke per a un sòlid elàstic lineal i &nbsp;isòtrop &nbsp;poden ser deduïdes del &nbsp;teorema de Rivlin-Ericksen &nbsp;, que poden escriure en la forma:
: <math>\epsilon_{xx} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{xx} - \nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{xy} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xy}</math>
: <math>\epsilon_{yy} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{yy} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{yz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{yz}</math>
: <math>\epsilon_{zz} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{zz} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}) \right) \qquad \epsilon_{xz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xz}</math>
En forma matricial, en termes del mòdul de Young i el &nbsp;coeficient de Poisson &nbsp;com:
 
<math>\begin{pmatrix}
 
=== Cas tridimensional ortòtrop ===
El comportament elàstic d'un material ortotrópico queda caracteritzat per nou constants independents: 3 mòduls d'elasticitat longitudinal &nbsp;<math>(E_x, E_y, E_z)</math>, 3 mòduls de rigidesa<math>(G_{xy}, G_{yz}, G_{zx})</math> &nbsp;i 3 coeficients de Poisson<math>(\nu_{xy}, \nu_{yx}, \nu_{zx})</math> &nbsp;. &nbsp;De fet per a un material ortotrópico la relació entre les components del &nbsp;tensor tensió &nbsp;i les components del &nbsp;tensor deformació &nbsp;ve donada per:
 
<math>\begin{pmatrix}
 
 
On: Com es pot veure les components que governen l'allargament i les que governen la &nbsp;distorsió &nbsp;estan desacoblades, la qual cosa significa que en general és possible produir allargaments al voltant d'un punt sense provocar distorsions i viceversa. &nbsp;Les equacions inverses que donen les deformacions en funció de les tensions prenen una forma una mica més complicada:<math>\frac{\nu_{yx}}{E_y} = \frac{\nu_{xy}}{E_x} \qquad
\frac{\nu_{zx}}{E_z} = \frac{\nu_{xz}}{E_x} \qquad
\frac{\nu_{yz}}{E_y} = \frac{\nu_{zy}}{E_z} \qquad (*)</math>
<math>\Delta := \frac{1-\nu_{xy}\nu_{yx}-\nu_{xz}\nu_{zx}-\nu_{yz}\nu_{zy}-2\nu_{xy}\nu_{yz}\nu_{zx}}{E_x E_y E_z}</math>
 
De fet la matriu anterior, que representa el &nbsp;'''tensor de rigidesa''' &nbsp;, és simètrica, ja que de les relacions (*) es la simetria de l'anterior matriu, ja que:
 
<math>\frac{\nu_{yx}+\nu_{yz}\nu_{zx}}{E_y E_z \Delta} = \frac{\nu_{xy}+\nu_{xz}\nu_{zy}}{E_x E_z \Delta} \qquad
\frac{\nu_{zy}+\nu_{zx}\nu_{xy}}{E_x E_z \Delta} = \frac{\nu_{yz}+\nu_{yx}\nu_{xz}}{E_x E_y \Delta}</math>
 
Un cas particular de materials ortótropos són els &nbsp;materials transversalment isòtrops &nbsp;lineals en els quals només cal especificar cinc constants elàstiques: &nbsp;<math>\scriptstyle E_t, E_L, G_t, \nu_t, \nu_{Lt}</math>, on<math>t</math> &nbsp;es refereix a les adreces transversals a la direcció que es diu longitudinal.
 
== Vegeu també ==
1.349.268

modificacions