|
== Llei de Hooke per als ressorts ==
La forma més comuna de representar matemàticament la ''Llei de Hooke'' és mitjançant l'equació del moll o ressort , on es relaciona la força <math>F</math>exercida pel ressort amb l'elongació o allargament provocat per la força externa aplicada a l'extrem del mateix:
<math>F = - k\delta \,</math>
on <math>k</math>es diu constant elàstica del ressort i <math>\delta</math>és la seva elongació o variació que experimenta la seva longitud.
L'energia de deformació o energia potencial elàstica <math>U_k</math>associada a l'estirament de la molla ve donada per la següent equació:
<math>U_k=\frac{1}{2} k{\delta}^2</math>
És important notar que la <math>k</math>abans definida depèn de la longitud de la molla i de la seva constitució. Definirem ara una constant intrínseca del ressort independent de la longitud d'aquest i establirem així la llei diferencial constitutiva d'un moll. Multiplicant <math>k</math>per la longitud total, i trucant al producte<math>k_i</math> o <math>k</math>intrínseca, es té:
<math>k=\frac{k_i}{L}</math>
Anomenarem<math>F(x)</math> a la tensió en una secció del moll situada una distància x d'un dels seus extrems que prenem com a origen de coordenades, <math>k_{\Delta x}</math>a la constant d'un petit tros de moll de longitud <math>\Delta x</math>a la mateixa distància i <math>\delta_{\Delta x}</math>l'allargament d'aquest petit tros en virtut de l'aplicació de la força . Per la llei del moll complet:
<math>F(x)=-k_{\Delta x}\delta_{\Delta x}=-k_i\frac{\delta_{\Delta x}}{\Delta x}</math>
<math>F\left(x\right)=-k_i\frac{d{\delta}}{dx}=-AE\frac{d\delta}{dx}</math>
Que és l'equació diferencial del moll. Si s'integra per a tot , s'obté com equació d'ona unidimensional que descriu els fenòmens ondulatoris (Veure: Moll elàstic ). La velocitat de propagació de les vibracions en un ressort es calcula com:
<math>c=\sqrt{\frac{E}{\rho}}</math>
== Llei de Hooke en sòlids elàstics ==
A la mecànica de sòlids deformables elàstics la distribució de tensions és molt més complicada que en un ressort o una barra estirada només segons el seu eix. La deformacióen el cas més general necessita ser descrita mitjançant un tensor de deformacions mentre que els esforços interns en el material necessiten ser representats per un tensor de tensions . Aquests dos tensors estan relacionats per equacions lineals conegudes per '''equacions d'Hooke generalitzades''' o '''equacions de Lamé-Hooke''' , que són lesequacions constitutives que caracteritzen el comportament d'un sòlid elàstic lineal. Aquestes equacions tenen la forma general :
<math>\sigma_{ij} = \sum_{k, l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,</math>
Gran part de les estructures d'enginyeria són dissenyades per patir deformacions petites, s'involucren només en la recta de l'diagrama d'esforç i deformació.
De tal manera que la deformació <math>\epsilon</math>és una quantitat adimensional, el mòdul <math>E</math>s'expressa en les mateixes unitats que l'esforç <math>\sigma</math>(unitats pa, psi i ksi). El màxim valor de l'esforç per al qual pot emprar-se la llei de Hooke en un material és conegut com a límit de proporcionalitat d'un material. En aquest cas, els materials dúctils que posseeixen un punt de cedència definit; en certs materials no pot definir-se la proporcionalitat de cedència fàcilment, ja que és difícil determinar amb precisió el valor de l'esforç <math>\sigma</math>per al qual la similitud entre<math>\sigma</math> i <math>\epsilon</math>deixi de ser lineal. En utilitzar la llei de Hooke en valors més grans que el límit de proporcionalitat no conduirà a cap error significatiu. En resistència de materials s'involucra en les propietats físiques de materials, com a resistència, ductilitat i resistència de corrosió; que poden afectar a causa de l'aliatge, el tractament tèrmic i el procés de manofactura.
=== Cas unidimensional ===
En el cas d'un problema unidimensional on les deformacions o tensions en direccions perpendiculars a una adreça donada són irrellevants o es poden ignorar <math>\sigma = \sigma_{11}</math>, <math>\epsilon = \epsilon_{11}</math>, <math>C_{11} = E</math> i l'equació anterior es redueix a:
<math>\sigma = E\epsilon \,</math>
on <math>E</math>és el mòdul de Young .
=== Cas tridimensional isòtrop ===
Per caracteritzar el comportament d'un sòlid elàstic lineal i isòtrop es requereixen a més del mòdul de Young una altra constant elàstica, anomenada coeficient de Poisson (<math>v</math>).D'altra banda, les equacions de Lamé-Hooke per a un sòlid elàstic lineal i isòtrop poden ser deduïdes del teorema de Rivlin-Ericksen , que poden escriure en la forma:
: <math>\epsilon_{xx} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{xx} - \nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{xy} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xy}</math>
: <math>\epsilon_{yy} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{yy} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{yz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{yz}</math>
: <math>\epsilon_{zz} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{zz} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}) \right) \qquad \epsilon_{xz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xz}</math>
En forma matricial, en termes del mòdul de Young i el coeficient de Poisson com:
<math>\begin{pmatrix}
=== Cas tridimensional ortòtrop ===
El comportament elàstic d'un material ortotrópico queda caracteritzat per nou constants independents: 3 mòduls d'elasticitat longitudinal <math>(E_x, E_y, E_z)</math>, 3 mòduls de rigidesa<math>(G_{xy}, G_{yz}, G_{zx})</math> i 3 coeficients de Poisson<math>(\nu_{xy}, \nu_{yx}, \nu_{zx})</math> . De fet per a un material ortotrópico la relació entre les components del tensor tensió i les components del tensor deformació ve donada per:
<math>\begin{pmatrix}
On: Com es pot veure les components que governen l'allargament i les que governen la distorsió estan desacoblades, la qual cosa significa que en general és possible produir allargaments al voltant d'un punt sense provocar distorsions i viceversa. Les equacions inverses que donen les deformacions en funció de les tensions prenen una forma una mica més complicada:<math>\frac{\nu_{yx}}{E_y} = \frac{\nu_{xy}}{E_x} \qquad
\frac{\nu_{zx}}{E_z} = \frac{\nu_{xz}}{E_x} \qquad
\frac{\nu_{yz}}{E_y} = \frac{\nu_{zy}}{E_z} \qquad (*)</math>
<math>\Delta := \frac{1-\nu_{xy}\nu_{yx}-\nu_{xz}\nu_{zx}-\nu_{yz}\nu_{zy}-2\nu_{xy}\nu_{yz}\nu_{zx}}{E_x E_y E_z}</math>
De fet la matriu anterior, que representa el '''tensor de rigidesa''' , és simètrica, ja que de les relacions (*) es la simetria de l'anterior matriu, ja que:
<math>\frac{\nu_{yx}+\nu_{yz}\nu_{zx}}{E_y E_z \Delta} = \frac{\nu_{xy}+\nu_{xz}\nu_{zy}}{E_x E_z \Delta} \qquad
\frac{\nu_{zy}+\nu_{zx}\nu_{xy}}{E_x E_z \Delta} = \frac{\nu_{yz}+\nu_{yx}\nu_{xz}}{E_x E_y \Delta}</math>
Un cas particular de materials ortótropos són els materials transversalment isòtrops lineals en els quals només cal especificar cinc constants elàstiques: <math>\scriptstyle E_t, E_L, G_t, \nu_t, \nu_{Lt}</math>, on<math>t</math> es refereix a les adreces transversals a la direcció que es diu longitudinal.
== Vegeu també ==
| 