Viquipèdia

Esperança matemàtica: diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
m Reordenació de la pàgina. Introducció d'un nou paràgraf sobre càlcul de l'esperança
m Modificació de la notació de l'esperança condicionada per a variables discretes per explicitar més la construcció
Línia 124:
 
==Esperança condicionada==
Ens limitarem als casos de dues variables discretes o absolutament contínues.
 
====Esperança condicionada per variables aleatòries discretes====
Donades dues [[variable aleatòria discreta|variables aleatòries discretes]], <math>X</math> que pot prendre els valors <math>x_1,x_2,\dots,</math> i <math>Y</math> que pot prendre els valors <math>y_1,y_2,\dots</math> (suposem que <math>P(Y=y_j)>0, j=1,2,\dots</math>) definim l'[['''esperança condicional|esperançade <math>X</math>condicionada]]''' <ref>{{Ref-llibre|edició=Dover ed|títol=Basic probability theory|url=https://www.worldcat.org/oclc/190785258|editorial=Dover Publications|data=2008|lloc=Mineola, N.Y.|isbn=9780486466286|cognom=Ash, Robert B.}}</ref> '''per <math>Y=y_j</math>'''
 
:<math display="block"> \operatorname{E}(X|Y=y_j) = \sum\limits_i x_i \cdot \operatorname{P}(X=x_i|Y=y_j).</math>
 
:on <math display="block"> \operatorname{EP}(X=x_i|Y=yy_j).</math> és la probabilitat de l'esdeveniment <math>X=x_i</math> \sum\limits_xcondicionada xa \cdot<math>Y=y_j</math>: <math>P(X=x_i | Y=y_j)=\operatornamefrac{P}(X=x|x_i,Y=yy_j)}{P(Y=y_j)}.</math>
 
Podem resumir tots els casos de les esperances condicionades als diferents <math>y_j</math>en una nova variable aleatòria designada per <math>E(X|Y)</math> i anomenada '''esperança de <math>X</math> condicionada per <math>Y</math>''':<math display="block">E(X|Y)(\omega)=\begin{cases} E(X|Y=y_1) & \text{si} \ Y(\omega)=y_1,\\
on <math>\operatorname{P}(X=x|Y=y).</math> és la probabilitat de l'esdeveniment <math>X=x</math> condicional a <math>Y=y</math> (suposem que <math>
E(X|Y=y_2) & \text{si} \ Y(\omega)=y_2,\\
P(Y=y)>0.
\qquad \vdots
</math>)
\end{cases}</math>
 
Tenim que
 
:<math>
\sum\limits_ylimits_j \operatorname{E}(X|Y=yy_j) \cdot \operatorname{P}(Y=yy_j) \,</math><math>=\sum\limits_ylimits_j \left( \sum\limits_xlimits_i xx_i \cdot \operatorname{P}(X=xx_i|Y=yy_j) \right) \cdot \operatorname{P}(Y=yy_j)\, </math><math>=\sum\limits_ylimits_j \sum\limits_xlimits_i xx_i \cdot \operatorname{P}(X=xx_i|Y=yy_j) \cdot \operatorname{P}(Y=yy_j)\, </math><math>=\sum\limits_ylimits_j \sum\limits_xlimits_i xx_i \cdot \operatorname{P}(Y=yy_j|X=xx_i) \cdot \operatorname{P}(X=xx_i) \, </math>
 
:<math>=\sum\limits_xlimits_i xx_i \cdot \operatorname{P}(X=xx_i) \cdot \left( \sum\limits_ylimits_j \operatorname{P}(Y=yy_j|X=xx_i) \right) \, </math><math>=\sum\limits_xlimits_i xx_i \cdot \operatorname{P}(X=xx_i) \, </math><math>=\operatorname{E}(X).\, </math>
 
Fórmula que es pot escriure:
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Esperança_matemàtica»