Esperança matemàtica: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m correcció d'una frase |
Càlcul de l'esperança d'una funció d'una variable aleatòria |
||
Línia 53:
2. Considerem una variable aleatòria <math>X</math> amb [[distribució de Cauchy]] estàndard, amb funció de densitat <math display="block">f(x)={1 \over \pi}{1 \over 1+x^2}, \ x\in \mathbb{R}.</math>Aleshores <math display="block">\frac{1}{\pi}\int _{-\infty} ^\infty \vert x\vert\,{1 \over 1+x^2}\, dx=\frac{2}{\pi}\int _{0} ^\infty {x \over 1+x^2}\, dx=\infty.</math>Per tant, la esperança de <math>X</math> no existeix.
=== Esperança d'una funció d'una variable aleatòria ===
Sigui <math>X</math> una variable aleatòria. Ens ocuparem de calcular l'esperança d'una funció d'aquesta variable: <math>Y=g(X)</math> (vegeu mes avall, a la definició general d'esperança matemàtica les condicions sobre la funció <math>g</math>). Si <math>X</math> és discreta, també ho serà <math>Y</math> i, d'acord amb les fórmules anteriors, per calcular <math>E(Y)</math> hauríem de buscar primer la funció de probabilitat de <math>Y</math>; la següent fórmula ens permet calcular l'esperança directament: amb les notacions anteriors,<math display="block">\operatorname{E}(g(X)) = \sum_{i=1}^\infty p_i g(x_i),</math><br />sempre que <math> \sum_{i=1}^\infty p_i \,\big\vert g(x_i)\big\vert\, < \infty</math>. Si la variable pren només un nombre finit de valors, aleshores la suma és finita i sempre existeix l'esperança de <math>g(X)</math>.
'''Exemple'''. Considerem el cas del llançament del dau i la funció <math>g(x)=x^2. </math> Aleshores <math>E(X^2)=1^2\, \frac{1}{6}+\cdots+6^2\, \frac{1}{6}=15,17.</math>
Anàlogament, en el cas absolutament continu, hauríem de calcular la densitat d'<math>Y=g(X)</math> càlcul que ens podem estalviar gràcies a la següent fórmula: <math display="block">\operatorname{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)\, \operatorname{d}x, </math>sempre que <math> \int_{-\infty}^\infty\big\vert g(x)\big\vert\, f(x)\, \operatorname{d}x<\infty. </math>
== Jocs justos i esperança matemàtica ==
| |||