Esperança matemàtica: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot treu enllaç igual al text enllaçat |
m Afegida una secció sobre esperança i independència. Reordenada la pàgina per posar al final la part general i més abstracta |
||
Línia 55:
=== Esperança d'una funció d'una variable aleatòria ===
Sigui <math>X</math> una variable aleatòria. Ens ocuparem ara de calcular l'esperança d'una funció d'aquesta variable: <math>Y=g(X)</math> (vegeu mes avall, a la definició general d'esperança matemàtica, les condicions sobre la funció <math>g</math>). Si <math>X</math> és discreta, també ho serà <math>Y</math> i, d'acord amb les fórmules anteriors, per calcular <math>E(Y)</math> hauríem de buscar primer la funció de probabilitat de <math>Y</math>; la següent fórmula ens permet calcular l'esperança directament: amb les notacions anteriors,<math display="block">\operatorname{E}(g(X)) = \sum_{i=1}^\infty g(x_i)\ p_i,</math><br />sempre que <math> \sum_{i=1}^\infty \,\big\vert g(x_i)\big\vert\, p_i< \infty</math>. Si la variable pren només un nombre finit de valors, aleshores la suma és finita i sempre existeix l'esperança de <math>g(X)</math>.
'''Exemple'''. Considerem el cas del llançament del dau i la funció <math>g(x)=x^2. </math> Aleshores <math display="block">E(X^2)=1^2\, \frac{1}{6}+\cdots+6^2\, \frac{1}{6}=15,17.</math>Ara podem calcular la [[variància]] de <math>X</math>: <math display="block">\text{Variància}(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=15,17-3.5^2=2,67.</math>
Anàlogament, en el cas absolutament continu, per calcular <math>E\big(g(X)\big)</math> hauríem de
'''Exemple.''' Sigui <math>X</math> una [[Distribució normal|variable normal]] estàndard, i considerem com abans la funció <math>g(x)=x^2. </math> Aleshores , integrant per parts,<math display="block">E(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2\, f(x)\, dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}x^2\,e^{-x^2/2}\, dx=1.</math>Com que <math>\big\vert x^2\big\vert=x^2</math>, la mateixa integral serveix per comprovar que l'esperança de <math>X^2</math> existeix i per al càlcul d'aquesta esperança. A partir d'aquí, la [[Variància|variància de]] <math>X</math> és <math display="block">\text{Variància}(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=1-0=1.</math>
Línia 75:
</math>
Per tant un espera, en mitjana, perdre uns 5 cèntims per cada euro que aposta; d'una altra manera, el valor esperat per apostar 1 euro són 0,9474 euros.
==
Si <math>X</math> i <math>Y</math> són dues variables aleatòries independents (ambdues amb esperança), aleshores <ref>{{Ref-llibre|títol=Teoría elemental de la probabilidad y de los procesos estocásticos|url=https://www.worldcat.org/oclc/34206444|editorial=Reverté|data=1983|lloc=Barcelona|pàgines=p. 193|isbn=8429150498|cognom=Lai Chung, Kai.}}</ref>, <math display="block">E(X\, Y)=E(X)\,E(Y).</math>Llavors, la variància de la suma o la resta de <math>X</math> i <math>Y</math> es simplifica<ref>{{Ref-llibre|títol=Teoría elemental de la probabilidad y de los procesos estocásticos|url=https://www.worldcat.org/oclc/34206444|editorial=Reverté|data=1983|lloc=Barcelona|pàgines=p. 197|isbn=8429150498|cognom=Lai Chung, Kai.}}</ref>: <math display="block">\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X-Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y).</math>Mes generalment, si <math>X_1,\dots,X_n </math> són variables aleatòries independents (totes amb esperança), aleshores <ref>{{Ref-llibre|títol=Teoría elemental de la probabilidad y de los procesos estocásticos|url=https://www.worldcat.org/oclc/34206444|editorial=Reverté|data=1983|lloc=Barcelona|pàgines=p. 194|isbn=8429150498|cognom=Lai Chung, Kai.}}</ref> <math display="block">E(X_1\cdots X_n)=E(X_1)\cdots E(X_n).</math>La fórmula de la variància de la suma de les variables també es simplifica: <math display="block">\text{Var}\Big(\sum_{i=1}^n X_i\Big)=\sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i).</math>
== Esperança condicionada ==
Linha 384 ⟶ 325:
\,f_Y(y) \, dy.
</math>
== Definició general ==
L'esperança d'una variable aleatòria és un cas particular de la [[Espai de mesura|integral]] d'una funció mesurable en un [[espai de mesura]] finit.<ref>{{Ref-llibre|títol=Teoría de la probabilidad|url=https://www.worldcat.org/oclc/432496610|editorial=Tecnos|data=D.L. 1976|lloc=Madrid|isbn=8430906630|cognom=Loeve, Michel.|nom=|edició=|llengua=|pàgines=p.151}}</ref>
== Definició general d'esperança ==
En general, si <math>X\,</math> és una [[variable aleatòria]] definida en un [[espai de probabilitat]] <math>(\Omega, {\mathcal A}, P)\,</math> i [[Funció integrable|integrable]] respecte a la mesura de probabilitat ''P'', aleshores l'esperança matemàtica de <math>X\,</math> (denotada <math>\operatorname{E}(X)\,</math> o de vegades <math>\langle X \rangle</math> o <math>\mathbb{E}(X)</math>) es defineix com a <ref name=":0" />
:<math display="block">\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X\, \operatorname{d}P</math>
on la integral és una [[integral de Lebesgue]] respecte a la mesura de probabilitat ''P''. La condició que l'esperança de <math>X</math> existeixi és que <math>E(\vert X\vert))<\infty</math>.
Designem per <math>P_X</math>la [[Variable aleatòria|llei o distribució]] de la variable aleatòria <math>X</math>, és a dir, la probabilitat, sobre l'espai mesurable <math>(\mathbb{R},\mathcal{B})</math>, on <math>\mathcal{B}</math> és la [[Sigma-àlgebra|<math>\sigma</math>-àlgebra]] de Borel sobre el conjunt dels nombre reals, definida de la següent manera: per qualsevol <math>B\in \mathcal{B}</math>,
<center>
<math>
P_X(B)=P(X\in B).
</math>
</center>
Aleshores,<ref name=":0" />
<center>
<math display="block">
\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X\, \operatorname{d}P=\int_{\mathbb{R}}x\, \operatorname{d}P_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}x\, \operatorname{d}F_X(x) \qquad (2)
</math>
</center>
on, a la darrera integral és una integral de Lebesgue-Stieltjes <ref>{{Ref-llibre|títol=Teoría de la probabilidad|url=https://www.worldcat.org/oclc/432496610|editorial=Tecnos|data=D.L. 1976|lloc=Madrid|isbn=8430906630|cognom=Loeve, Michel.|nom=|edició=|llengua=|pàgines=p.129}}</ref> respecte la funció de distribució de <math>X</math>:
<math display="block">F(x)=P(X\le x)=P_X\big((-\infty,x]\big).</math>
Les fórmules que hem vist a la secció del càlcul de la esperança s'obtenen d'aplicar la igualtat (2) als casos discret i absolutament continus.
Si <math>g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> és una funció mesurable respecte la <math>\sigma</math> -àlgebra de Borel, tal que <math>
g(X)
</math> té esperança, és a dir, <math>E\Big(\big\vert g(X)\big\vert\Big)<\infty</math> , aleshores
:<math display="block">\operatorname{E}(g(X)) = \int_\Omega g(X)\, dP=\int_{\mathbb{R}}g(x)\, dP_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\, dF_X(x),</math>
d'on surten les fórmules del cas discret i absolutament continu que hem vist més amunt.
'''Observacions:'''
# La funció <math>g</math> no cal que estigui definida a tot <math>\mathbb{R}</math>, sinó només al conjunt on pren valors la variable <math>X</math>. Per exemple, si <math>X</math> és discreta, <math>g</math> ha d'estar definida en el conjunt <math>\{x_1,x_2,\dots\}</math> dels punts tals que <math>P(X=x_i)>0</math>. O si <math>X</math> és una variable no negativa, aleshores <math>g</math> n'hi ha prou que estigui definida a <math>[0,\infty)</math>.
# Tota funció contínua és Borel mesurable. <ref>{{Ref-llibre|edició=2nd ed|títol=Probability and measure theory|url=https://www.worldcat.org/oclc/42622245|editorial=Harcourt/Academic Press|data=2000|lloc=San Diego|isbn=0120652021|cognom=Ash, Robert B.|nom=|llengua=|pàgines=p. 36}}</ref>
:
== Propietats ==
=== Constants ===
El valor esperat d'una constant és igual a la mateixa constant, és a dir, si c és una constant, E(c) = c
=== Monotonia ===
Si ''X'' i ''Y'' són variables aleatòries amb esperança, tals que <math>X \le Y </math> [[Quasi segurament|q.s]]., aleshores <math> \operatorname{E}(X) \le \operatorname{E}(Y)</math>.
D'aquí es dedueix, tenint en compte que <math> X \leq |X| </math> i que <math> -X \leq |X| </math>, que
:<math display="block">|\operatorname{E}(X)| \leq \operatorname{E}(|X|)</math>
=== Linealitat ===
L'esperança matemàtica <math>\operatorname{E}</math> és un operador lineal:
:<math>\operatorname{E}(X + c)= \operatorname{E}(X) + c\,</math>
:<math>\operatorname{E}(X + Y)= \operatorname{E}(X) + \operatorname{E}(Y)\,</math>
:<math>\operatorname{E}(aX)= a \operatorname{E}(X)\,</math>
Combinant els resultats de les tres equacions prèvies, veiem que:
:<math>\operatorname{E}(aX + b)= a \operatorname{E}(X) + b\,</math>
:<math>\operatorname{E}(a X + b Y) = a \operatorname{E}(X) + b \operatorname{E}(Y)\,</math>
per dues variables aleatòries <math>X</math> i <math>Y</math> qualsevol amb esperança finita i nombres reals <math>a</math> i <math>b</math> qualssevol.
== Referències ==
{{referències}}
| |||