Conjunt quocient: diferència entre les revisions

m
neteja després de ContentTranslation
m (Creada per traducció de la pàgina «Espacio cociente»)
m (neteja després de ContentTranslation)
{{VT|Quocient}}
 
En [[matemàtiques]], un '''espai quocient''' és un terme que fa referència a una certa [[estructura matemàtica]] que es deriva d'una altra en la qual s'ha definit una relació d'equivalència.
 
 
=== Conjunt quocient ===
{{Article principal|Relació d'equivalència|Partició (matemàtiques)}}Si ''A'' és un [[conjunt]] i ~ una [[relació d'equivalència]], llavors les [[classes d'equivalència]] formen una [[Partició (matemàtiques)|partició del conjunt]] A.
Si ''A'' és un [[conjunt]] i ~ una [[relació d'equivalència]], llavors les [[classes d'equivalència]] formen una [[Partició (matemàtiques)|partició del conjunt]] A.
 
Les classes d'equivalència de la relació integren entre si un nou conjunt, denominat '''conjunt quocient''' i denotat ''A''/~.
:: {Joan Font, Isabel Costa, Maria Font, Manel Riera, Antònia Valls, Artur Costa}
: llavors les classes d'equivalència són
::[Font] = {Joan Font, Maria Font}
 
* ::[FontCosta] = {JoanIsabel FontCosta, MariaArtur FontCosta}
* ::[CostaRiera] = {Isabel Costa, ArturManel CostaRiera}
* ::[RieraValls] = {ManelAntònia RieraValls}
* [Valls] = {Antònia Valls}
 
: ...i el conjunt quocient d'aquesta relació d'equivalència és
:: <math> A / \!\!\sim \ = \ \{[\text{Font}],[\text{Costa}],[\text{Riera}],[\text{Valls}]\}</math>
 
; Exemple.
: Si en el conjunt dels nombres enters <math>\mathbb{Z}</math> es defineix la relació <math> a \sim b</math> quan <math>a-b</math> sigui un múltiple de 5, llavors les classes d'equivalència són:
* ::<math> [40] = \{\ldots, -1115, -610,-15,40,95,1410,1915,\ldots\} </math>
 
* ::<math> [01] = \{\ldots, -1514, -109,-54,01,56,1011,1516,\ldots\} </math>
* ::<math> [12] = \{\ldots, -1413, -98,-43,12,67,1112,1617,\ldots\} </math>
* ::<math> [23] = \{\ldots, -1312, -87,-2,3,28,7,1213,1718,\ldots\} </math>
* ::<math> [34] = \{\ldots, -1211, -76,-21,34,89,1314,1819,\ldots\} </math>
* <math> [4] = \{\ldots, -11, -6,-1,4,9,14,19,\ldots\} </math>
 
: i per tant el conjunt quocient té cinc elements:
* .::<math> A/\!\!\sim \ = \ \{ [0],[1],[2],[3],[4]\}</math>
 
* .<math> A/\!\!\sim \ = \ \{ [0],[1],[2],[3],[4]\}</math>
 
; Exemple
 
=== Grup quocient ===
{{Article principal|Grup quocient}}
{{Article principal|Grup quocient}}Si ''G'' és un [[Grup (matemàtiques)|grup]] i ''H'' és un [[subgrup]] de ''G'', llavors la relació <math>ab^{-1} \in H</math> és una relació d'equivalència, les classes d'equivalència de la qual són les [[Classe lateral|classes laterals]] (per l'esquerra) del subgrup ''H''.
 
En aquest cas, el conjunt quocient es denota ''G''/''H'' i es pot induir una estructura de grup en ''G''/''H'' de manera canònica a partir de l'operació de ''G'':
* :Si ''aH'' i ''bH'' són dues classes d'equivalència, es defineix el producte (''aH'')(''bH'') com l'operació que té per resultat la classe lateral (''ab'')''H''.
 
* Si ''aH'' i ''bH'' són dues classes d'equivalència, es defineix el producte (''aH'')(''bH'') com l'operació que té per resultat la classe lateral (''ab'')''H''.
 
Amb aquesta operació, ''G''/''H'' adquireix estructura de grup, el qual es denomina ''grup quocient''.
 
=== Espai vectorial quocient ===
{{Article principal|Espai vectorial quocient}}
{{Article principal|Espai vectorial quocient}}En [[àlgebra lineal]], l'espai vectorial quocient ''E''/''F'' d'un espai vectorial ''E'' per un [[subespai vectorial]] ''F'' és l'estructura natural d'espai vectorial sobre el conjunt quocient de ''E'' per la [[relació d'equivalència]]: ''v'' està relacionat amb ''w'' si i només si {{Nowrap|''v''-''w''}} pertany a ''F''.
 
=== Espai topològic quocient ===
{{Article principal|Topologia quocient}}
{{Article principal|Topologia quocient}}Si ''X'' es un [[espai topològic]] i <math>p:X\to Y</math> es una [[funció exhaustiva]], llavors és possible induir una topologia ''T'' en ''Y'' a partir de la topologia de ''X'':
 
* :''A'' és un conjunt obert en la topologia de ''Y'' si <math>p^{-1}(A)</math> és un conjunt obert de ''X''.
 
Hom diu que la topologia de ''Y'' és la ''topologia quocient'' induïda per ''p''.
 
* {{Mathworld|LieGroupQuotientSpace|Lie Group Quotient Space}}
 
[[Categoria:Fraccions]]
[[Categoria:Teoria de conjunts]]