Revisió del 16:30, 9 gen 2018 modifica ÀlexHinojo (discussió \| contribucions) Autopatrullats 8.598 edits Cap resum de modificació ← Edició anterior		Revisió del 14:25, 2 maig 2020 modifica desfés Lliceri (discussió \| contribucions) 139 edits Arranjament d'errors ortogràfics i semàntics Etiqueta: editor visual Edició següent →
Línia 1: En [[àlgebra lineal]], donat un [[espai vectorial]] ''E'' sobre un cos '''K''', un '''subespai vectorial''' de ''E'' és una part no buida ''F'' de ''E'' estable per a les [[combinació lineal\|combinacions lineals]] . En altres paraules, aquesta part ha de verificar: * La suma vectorial de dos vectors de ''F'' pertany a ''F''; * La multiplicació d'un vector de ''F'' per un escalar pertany a ''F''. Aquestes condicions imposen que el [[vector nul]] pertanyi a ''F''. Proveït de les lleis induïdes ''F'' és un '''K'''-espai vectorial. L'~~[[Espai~~espai nul]] <math>\{0\}</math> i l'espai total <math>E</math> són respectivament els subespais vectorials més petit i més gran de ''E''. En general, una unió finita de subespais vectorials no és estable per combinacions lineals. Tanmateix, donada una família <math>(F_i)_{i\in I}</math> de subespais vectorials de ''E'', la seva intersecció és un subespai vectorial de ''E''. La suma de la família <math>(F_i)_{i\in I}</math> és el subespai més petit que contingui tots els ''F''<sub>''i''</sub>. == Definició equivalent == El subconjunt ''F'' és un <math>\mathbb K</math>-subespai vectorial de ''E,'' [[si i només si]]: <math> F \subset E </math> Linha 20 ⟶ 22: <math> \forall u,v \in F, \forall \lambda,\beta \in \mathbb{K}, \ \lambda u + \beta v \in F</math>. En ~~Altres~~altres ~~Paraules~~paraules, ''F'' és un subespai vectorial de ''E,'' si i només si no és buit i és estable per a les [[combinació lineal\|combinacions lineals]]. '''Nota''': en tot espai vectorial ''E'' no reduït a <math>\ \{0\}</math>, hi ha almenys dos subespais vectorials. Són <math>\ \{0\}</math> i ''E'' mateix: se'n diu els dos ''subespais vectorials trivials''. Linha 46 ⟶ 48: {{Caixa desplegable\|títol = Demostració\|contingut= ;''E'' és aquí de dimensió finita i el seu cos associat és de cardinal infinit. Si <math>(F_i)</math> és una família finita de subespais vectorials de ''E'' tots diferents de ''E'', llavors la unió de la família <math> (F_i)</math> és diferent de E. : Sigui f<sub>i</sub>, una forma lineal no nul·la que s'anul·la sobre <math>F_i</math>. Es considera llavors la funció <math>\phi</math> de ''E'' al seu cos definit per: ::<math> \forall x \in E \quad \varphi(x)=\prod_i f_i(x)</math> Linha 80 ⟶ 82: :<math> \sum_{i = 1}^m F_i = \left\{x \in E / \exists (x_1, x_2, \dots, x_m) \in F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_m, x = x_1 + x_2 + \cdots + x_m\right\} </math>. : És el conjunt dels vectors de ''E'' que admeten almenys una descomposició en suma de vectors que ~~pertanyena~~pertanyen a respectivament als subespais vectorials <math> F_1, F_2, \dots, F_m </math> (si aquesta descomposició és a més única, la suma dels subespais s'anomena [[suma directa\|directa]]. Llavors: Linha 88 ⟶ 90: :Es diu també que <math> \sum_{i = 1}^m F_i </math> és el subespai vectorial més petit de ''E'' que conté <math> F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_m</math>. == ~~subespai~~Subespai vectorial ~~engendrat~~generat == === Definició === Linha 109 ⟶ 111: : És per això que es diu que <math>\mbox{Vect}(A) </math> és '''el subespai vectorial més petit ''' de ''E'' que contenint ''A''. : Se'l l'anomena '''subespai vectorial''' de ''E'' '''~~engendrat~~generat per''' ''A''. * El subespai vectorial ~~engendrat~~generat per ''A'' és la intersecció de tots els subespais vectorials de ''E'' que contenen ''A''. '''Nota''': es considera l'aplicació <math>\varphi: \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E), A \mapsto \mbox{Vect}(A)</math>, on <math> \mathcal{P}(E) </math> designa el conjunt de les parts de ''E''.

Subespai vectorial: diferència entre les revisions